内蒙古包头市2023届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2023-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合N满足 $∁_{U} N = {0 ， 1}$ ，则 $N =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 2}$

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2. 已知 $z \cdot i = - \sqrt{3} + i$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、2 B、-2 C、 $2 \sqrt{3} i$ D、 $- 2 \sqrt{3} i$

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3. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2 ， 1) ， | \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} + \vec{b} | = 4$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、8 B、-8 C、-4 D、4

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4. 中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（）

A、7里 B、8里 C、9里 D、10里

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5. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的两个焦点，点M、N在C上，若 $| M F_{2} | + | N F_{2} | = 6$ ，则 $| M F_{1} | | N F_{1} |$ 的最大值为（）

A、9 B、20 C、25 D、30

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6. 执行如图的程序框图，如果输入的 $a = 1$ ，则输出的 $S =$ （）

A、-6 B、-5 C、-4 D、-3

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 2 ， n 为偶数， \\ a_{n} + 3 ， n 为奇数 . \end{array}$ 若 $b_{n} = a_{2 n - 1}$ ，则 $b_{4} =$ （）

A、18 B、16 C、11 D、6

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E ， F ， M$ 分别为所在棱的中点， $P$ 为下底面的中心，则下列结论中正确的是（    ）
①平面 $E F C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1}$
② $M P ⊥ A_{1} D$
③ $M P ⊥ C_{1} D$
④ $E F / /$ 平面 $A D_{1} B_{1}$

A、①② B、①②④ C、②③④ D、①④

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9. 已知正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的各顶点都在球O的球面上，球心O在该正六棱锥的内部，若球O的体积为 $36 π$ ，则该正六棱锥体积的最大值为（）

A、 $27 \sqrt{3}$ B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $10 \sqrt{3}$ D、 $9 \sqrt{3}$

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10. 为了解全市高三学生身体素质状况，对某校高三学生进行了体能抽样测试，得到学生的体育成绩 $X \sim N (70 ， 100)$ ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（）
附：若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ \leq X < μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

A、该校学生体育成绩的方差为10 B、该校学生体育成绩的期望为85 C、该校学生体育成绩的及格率小于85% D、该校学生体育成绩的优秀率大于3%

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11. 已知点 $P (2 ， 1)$ 在双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a^{2} - 1} = 1$ （ $a > 1$ ）上，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过点 $A (0 ， - 2)$ 且不过点 $P$ ．若直线 $l$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且以线段 $M N$ 为直径的圆过点 $P$ ，则 $k =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12. 定义在R上的不恒为零的偶函数 $f (x)$ 满足 $x f (x + 2) = (x + 2) f (x)$ ，且 $f (2) = 4$ ．则 $\sum_{k = 1}^{10} [f (k) + f (- k)]$ （）

A、30 B、60 C、90 D、120

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二、填空题

13. 从A，B等5名志愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概率为．

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14. 已知直线 $y = m x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ 交于A，B两点，直线 $n x + y + 2 = 0$ 垂直平分弦 $A B$ ，则弦 $| A B |$ 的长为．

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15. 记函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为T．若 $f (\frac{T}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} ， x = \frac{π}{8}$ 为 $f (x)$ 的极小值点，则 $ω$ 的最小值为．

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16. 已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $g (x) = \frac{a^{x}}{x}$ 的最小值的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $s i n C = s i n A c o s B + \frac{\sqrt{2}}{2} s i n (A + C)$ ．

(1)、求A；

(2)、在原题条件的基础上，若增加下列条件之一，请说明条件①与②哪个能使得 $△ A B C$ 唯一确定，当唯一确定时，求边 $B C$ 上的高h．
条件①： $a = 2 ， s i n C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ；条件②： $a = \sqrt{5} ， b = \sqrt{2}$ ．

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18. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活．某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识．某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图．规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”．
$30$ 名女生成绩频数分布表：
成绩
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
频数
10
10
6
4
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、根据以上数据，完成以下 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有 $95$ %的把握认为“防疫标兵”与性别有关；

男生
女生
合计
防疫标兵
非防疫标兵
合计

(2)、以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校女生中随机抽取 $4$ 人，其中“防疫标兵”的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列与数学期望．

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19. 如图，已知矩形 $A B C D$ 是圆柱的轴截面， $P$ 是 $C D$ 的中点，直线 $B P$ 与下底面所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ ，矩形 $A B C D$ 的面积为12， $M N$ 为圆柱的一条母线（不与 $A B ， C D$ 重合）．

(1)、证明： $B N ⊥ M P$ ；

(2)、当三棱锥 $B - M N P$ 的体积最大时，求二面角 $N - B M - P$ 的正弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 1) - 1 (a \geq 1)$ ．

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积；

(2)、若 $f (x)$ 没有零点，求a的取值范围．

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21. 已知直线l与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于A，B两点，且 $O A ⊥ O B$ ， $O D ⊥ A B$ ， D为垂足，点D的坐标为 $(1 ， 1)$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、若点E是直线 $y = x - 4$ 上的动点，过点E作抛物线C的两条切线 $E P$ ， $E Q$ ，其中P，Q为切点，试证明直线 $P Q$ 恒过一定点，并求出该定点的坐标．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = b c o s t \\ y = 2 + b s i n t \end{array}$ （t为参数， $b > 0$ ）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = - 4 c o s θ$ ．

(1)、说明 $C_{1}$ 是什么曲线，并将 $C_{1}$ 的方程化为极坐标方程；

(2)、直线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $ρ s i n θ + ρ c o s θ + 1 = 0$ ，是否存在实数b，使 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共点都在 $C_{3}$ 上，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．

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23. 设 $a ， b ， c \in R ， a ， b ， c - 1$ 均不为零，且 $a + b + c = 1$ ．

(1)、证明： $a b + b (c - 1) + (c - 1) a < 0$ ；

(2)、求 $(a - 2)^{2} + (b + 2)^{2} + (c + 2)^{2}$ 的最小值．

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成绩	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
频数	10	10	6	4

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	男生	女生	合计
防疫标兵
非防疫标兵
合计