辽宁省抚顺市2023届普通高中应届毕业生高考数学模拟试卷

试卷更新日期：2023-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} + 2 x - 8 < 0}$ ，集合 $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则集合 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${1 ， 2 ， 3}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $z i = 2 - i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 甲、乙两名同学分别从“武术”、“排球”、“游泳”、“体操”四个社团中随机选择一个社团加入，则这两名同学加入的是同一个社团的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知 $A B$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 的直径，点P是圆 $(x - a + 1)^{2} + (y - a - 1)^{2} = 1$ 的圆心，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、0

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5. 坡度是地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，就是坡面与水平面成角的正切值．如图所示，已知斜面 $A B C D$ 的坡度是1，某种越野车的最大爬坡度数是30°，若这种越野车从D点开始爬坡，则行驶方向 $D E$ 与直线 $A D$ 的最大夹角的度数为（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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6. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ，若 $\frac{1 + s i n 2 α}{1 + c o s 2 α} = \frac{9}{2}$ ，则 $t a n 2 α$ 的值是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最大值为4 B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最大值为2 C、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- 4$ D、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最小值为 $- 2$

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8. 定义在R上的函数 $f (x)$ 同时满足：① $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ， ② $f (- 1 + x) + f (- 1 - x) = 0$ ，则下列结论不正确的是（）

A、函数 $f (1 + x)$ 为奇函数 B、 $(x - 1) f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (2) + f (6) = 0$ D、函数 $f (x)$ 的周期 $T = 4$

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二、多选题

9. 某学校为了解学生的课业情况，现随机抽取该校若干名学生完成课后作业所用的时间数据，绘制成频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、频率分布直方图中的a的值为0.010 B、估计该校学生完成课后作业所用的平均时间为100分钟 C、估计该校学生完成课后作业所用的时间在 $[50 ， 75)$ 的人数最多 D、估计该校约85%的学生完成课后作业所用的时间不超过2小时

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10. 已知四棱锥 $P - A B C D$ ，它的各条棱长均为2，则下面说法正确的是（）

A、其外接球的表面积为 $8 π$ B、其内切球的半径为 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ C、侧面与底面所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、不相邻的两个侧面所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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11. 设函数 $f (x) = \frac{x}{l n x} - a x$ ，若函数 $f (x)$ 有两个极值点，则实数a的值可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、2 D、 $- \frac{1}{4}$

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12. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，A、B是抛物线上两动点，过点A、B分别作抛物线的切线，记两条切线的交点为P，则下列说法正确的是（）

A、F点坐标为 $(0 ， 1)$ B、若 $| A B | = 8$ ，则线段 $A B$ 中点到x轴距离的最小值为3 C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则直线 $A B$ 过焦点F D、若直线 $A B$ 斜率为1，则 $| \vec{P F} |$ 的最小值为2

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三、填空题

13. 在 ${(\frac{1}{x} + 2 x)}^{7}$ 的展开式中，含 $x^{5}$ 项的系数为．

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14. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 8$ ， $S_{6} = 30$ ，则 $a_{5}$ 的值是．

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15. 已知函数 $f (x) = 3 s i n x + 4 c o s x$ ，且对任意实数x都有 $f (x) = f (2 α - x) (α \in R)$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为．

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16. 已知 $2^{a} = 3$ ， $3^{b} = 4$ ， $c = \frac{l n a - l n b}{a - b}$ ，则在 $l o g_{a} b$ ， $l o g_{a} c$ ， $l o g_{b} a$ ， $l o g_{b} c$ ， $l o g_{c} a$ ， $l o g_{c} b$ 这6个数中，值最小的是．

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $A B$ 上，满足 $\vec{C D} = λ (\frac{\vec{C A}}{| \vec{C A} |} + \frac{\vec{C B}}{| \vec{C B} |}) (λ > 0)$ ，且 $c o s \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ， $△ C A D$ 的面积与 $△ C B D$ 面积的比为 $2 \sqrt{6} ： 3$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、若 $A B = 5$ ，求边 $A B$ 上的高 $C E$ 的值．

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18. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $T_{n}$ 是等比数列 ${b_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 0$ ， $b_{1} = 1$ ， $S_{2} + T_{2} = S_{3} + T_{3} = S_{4} + T_{4}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} | a_{2 n} |$ ，求数列 ${\frac{1}{c_{n} \cdot c_{n + 1}}}$ 的前n项和 $P_{n}$ ．

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19. 学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女姓组，对每周自主体育锻炼的时间分段进行统计（单位：小时）第一段 $[0 ， 2)$ ，第二段 $[2 ， 4)$ ，第三段 $[4 ， 6)$ ，第四段 $[6 ， 8)$ ，第五段 $[8 ， 10]$ ．将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：

(1)、求折线图中m的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；

(2)、填写下列 $2 \times 2$ 列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有关？

体育迷
非体育迷
合计
男
女
合计
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq K_{0})$
0.050
0.010
0.001
$K_{0}$
3.841
6.635
10.828

(3)、若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？（同一段中的数据用该组区间的中点值代表）

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20. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是正方形，点P，Q在侧棱 $S D$ 上，E是侧棱 $S C$ 的中点．

(1)、若 $S Q = Q P = P D$ ，证明：BE∥平面 $P A C$ ；

(2)、若每条侧棱的长都是底面边长的 $\sqrt{2}$ 倍，从下面两个条件中选一个，求二面角 $P - A C - D$ 的大小．
① $S D ⊥$ 平面 $P A C$ ；②P为 $S D$ 的中点．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ， A，B分别是椭圆的左、右顶点，点 $D (x ， y)$ 在椭圆C上，且直线 $A D$ 与 $B D$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线 $2 x + t y - 3 = 0$ 与椭圆分别相交于M，N两点，直线 $M O$ （O为坐标原点）与椭圆的另一个交点为E，求 $△ M N E$ 的面积S的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = (x + a)^{2} + 2 l n x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $x_{1} < f (x_{2}) < x_{2}$ ．

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$P (K^{2} \geq K_{0})$	0.050	0.010	0.001
$K_{0}$	3.841	6.635	10.828

	体育迷	非体育迷	合计
男
女
合计