辽宁省鞍山市2023届高三下学期数学第一次模拟联考试卷

试卷更新日期：2023-04-12 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若 $i (1 - z) = 1$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

查看试题解析
2. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 2} ， B = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 0}$

查看试题解析
3. 数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1$ (n＝0，1，2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 $F_{5} = 641 \times 6700417$ ，不是质数．现设 $a_{n} = l o g_{4} (F_{n} - 1) (n = 1 ， 2 ， ⋯)$ ， $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $32 S_{n} = 63 a_{n}$ ，则 $n =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

查看试题解析
4. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{∘}$ ， $\vec{a} = (2 ， 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
5. 已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $c o s (2 α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{2}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

查看试题解析
6. 为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有（）种

A、50 B、60 C、80 D、100

查看试题解析
7. 已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为 $2 π$ ，那么该圆锥的体积是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{3}$

查看试题解析
8. 函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，且 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，若 $x \in [0 ， 1]$ ， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、4 B、2 C、1 D、0

查看试题解析

二、多选题

9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）

A、该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B、该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元 C、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) + c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (x)$ 的图象过点 $(0 ， \sqrt{2})$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $f (x)$ 的图象一条对称轴为 $\frac{π}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、把 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x) = \sqrt{2} c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象

查看试题解析
11. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左､右焦点，点 $M$ 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段 $F_{1} ， F_{2}$ 为直径的圆经过点 $M$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 3$ C、点 $M$ 的横坐标为 $2$ 或 $- 2$ D、 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{5}$

查看试题解析
12. 如图所示，从一个半径为 $\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ （单位：m）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥 $P - A B C D$ ，则以下说法正确的是（）

A、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积是 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} m^{3}$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积是 $8 π m^{2}$ C、异面直线 $P A$ 与 $C D$ 所成角的大小为 $60 °$ D、二面角 $A - P B - C$ 所成角的余弦值为 $- \frac{1}{3}$

查看试题解析

三、填空题

13. 在 $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^{3}$ 展开式中，常数项是.

查看试题解析
14. 若函数 $f (x) = x - a l n x$ 的图像在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为 $y = 3 x - 2$ ，则实数 $a =$ ．

查看试题解析
15. 若正实数 $a,$ $b$ ，满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{b}{3 a} + \frac{3}{b}$ 的最小值为.

查看试题解析
16. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，且以线段 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x - a y + 2 a b = 0$ 相切，则椭圆C的离心率为.

查看试题解析

四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $s_{n}$ ，且满足 $s_{n + 1} = s_{n} + a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ， $2 s_{5} = 3 (a_{4} + a_{6})$ ．

(1)、求数列的通 ${a_{n}}$ 项公式：

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + {(\frac{1}{2})}^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 在 $△$ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $B = 60 °$ ， $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，延长BC至D，使 $B D = 7$ ， $△ A C D$ 的面积为 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$ ．

(1)、求AB的长；

(2)、求 $△ A C D$ 外接圆的面积．

查看试题解析
19. 甲､乙､丙三人，为了研究某地区高中男生的体重 $y$ (单位： $k g$ )与身高 $x$ (单位： $c m$ )是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6名高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：
身高/ $c m$
$160$
$166$
$172$
$173$
$173$
$182$
体重/ $k g$
$44$
$\begin{array}{l} 50 \end{array}$
$55$
$55$
$56$
$64$
根据表中数据计算得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程对应的直线的斜率为 $0.89$ .

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、从该地区大量高中男生中随机抽出 $10$ 位男生，他们身高(单位： $c m$ )的数据绘制成如图的茎叶图.
①估计体重超过 $60 k g$ 的频率 $p$ ，
②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出 $2$ 人，记这 $2$ 人中体重超过 $60 k g$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及其数学期望(用（1）中的回归方程估测这 $10$ 位男生的体重).

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 2$ ， $△ A D P$ 为等边三角形，且面 $A D P ⊥$ 底面ABCD．

(1)、若M为BC中点，求证： $P M ⊥ B C$ ；

(2)、求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．

查看试题解析
21. 已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且 $\vec{F A} \cdot \vec{O A} = 4$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线 $x = 1$ 分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a l n x (a \in R ， a \neq 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对任意的 $x \in [1 ， + ∞)$ ，都有 $f (x) ≥ \frac{1}{2}$ 成立，求a的取值范围．

查看试题解析

身高/ $c m$	$160$	$166$	$172$	$173$	$173$	$182$
体重/ $k g$	$44$	$\begin{array}{l} 50 \end{array}$	$55$	$55$	$56$	$64$