江西省赣州市2023届高三下学期理数3月摸底考试试卷

试卷更新日期：2023-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x | - 1 < x \leq 1}$ ，集合 $A = {x | \frac{1}{x} \geq 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0]$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， 1]$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若 $\frac{a + i}{2 - i} = 1 + i$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、3

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3. 在平面直角坐标系中，角 $α$ ， $β$ 均以坐标原点为顶点， $x$ 轴的正半轴为始边．若点 $(1 ， 2)$ 在角 $α$ 的终边上，点 $(- 2 ， 6)$ 在角 $β$ 的终边上，则 $c o s (α + β) =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（）

A、该公司2022年营收总额约为30800万元 B、该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多 C、该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多 D、该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6%

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5. 已知点 $A (0 ， 3 \sqrt{7})$ ，双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $P$ 在双曲线 $E$ 的右支上运动.当 $△ A P F$ 的周长最小时， $| A P | + | P F | =$ （）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $7 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $9 \sqrt{2}$

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6. 已知 ${(x - 1)}^{4} {(x + 2)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{9} x^{9}$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + a_{8} =$ （）

A、40 B、8 C、 $- 16$ D、 $- 24$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列， $C = 2 (A + B)$ ，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{4}$

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8. 已知 $a = l o g_{0.7} 0.3 ， b = l o g_{0.3} 0.7 ， c = 0.5$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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9. 若函数 $f (x) = x - \frac{1}{| x |}$ ，则方程 $f^{2} (x) - f (x) - 6 = 0$ 的实根个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点 $A$ ， $B$ 是 $∠ M O N$ 的 $O N$ 边上的两个定点， $C$ 是 $O M$ 边上的一个动点，当 $C$ 在何处时， $∠ A C B$ 最大？问题的答案是：当且仅当 $△ A B C$ 的外接圆与边 $O M$ 相切于点 $C$ 时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点 $D$ ， $E$ 的坐标分别是 $(0 ， 1)$ ， $(0 ， m)$ ， $F$ 是 $x$ 轴正半轴上的一动点.若 $∠ D F E$ 的最大值为 $\frac{π}{6}$ ，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ．椭圆 $C$ 在第一象限存在点 $M$ ，使得 $| M F_{1} | = | F_{1} F_{2} |$ ，直线 $F_{1} M$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，且 $F_{2} A$ 是 $∠ M F_{2} F_{1}$ 的角平分线，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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12. 在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $C D$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则三棱锥 $M - A A_{1} N$ 外接球的表面积为（）

A、 $56 π$ B、 $66 π$ C、 $76 π$ D、 $86 π$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (4 ， k)$ .若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $k$ 的值为.

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14. 若实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq 0 ， \\ x \leq 5 ， \\ y \leq l n x ， \end{array}$ 则 $z = \frac{y}{x}$ 的最大值为.

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15. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x - {(s i n x + c o s x)}^{2} - 2$ .若存在 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， \frac{3 π}{4}]$ ，使不等式 $f (x_{1}) < k < f (x_{2})$ 成立，则整数 $k$ 的值可以为.（写出一个即可）.

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16. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (x + 2) = 1$ ， $f (x - 4) - g (x) = 3$ ．若 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且 $f (- 1) = 0$ ，有四个结论① $g (1) = 1$ ；②4为 $g (x)$ 的周期；③ $g (x)$ 的图象关于 $(4 ， - 1)$ 对称；④ $g (2) = - 1$ ，正确的是（填写题号）．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + ⋯ + \sqrt{a_{n}} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} + \sqrt{a_{n}}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并分别在 $A$ ， $B$ 两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组： $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；

(2)、以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案.现从 $B$ 小区内随机抽取5个人，用 $X$ 表示赞成该小区推行方案的人数，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为平行四边形，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ， $P B = 2 P C = 2$ ， $A B = A P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $B P$ ， $A D$ 的中点，且 $P C ⊥ M N$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、若 $△ A B P$ 为等边三角形，求直线 $M N$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0) ， F$ 为其焦点，点 $M (2 ， y_{0})$ 在 $C$ 上，且 $S_{△ O F M} = 4$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A ， B$ 是 $C$ 上异于点 $O$ 的两个动点，当 $∠ A O B = 9 0^{∘}$ 时，过点 $O$ 作 $O N ⊥ A B$ 于，问平面内是否存在一个定点 $Q$ ，使得 $| N Q |$ 为定值？若存在，请求出定点 $Q$ 及该定值：若不存在，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x - a} - x$ （ $a \in R$ ， e为自然对数的底数）.

(1)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、函数 $g (x) = e^{x - a} - x l n x + (1 - a) x$ ， $a \in (1 ， 3 - l n 3]$ ，记 $g (x)$ 的极小值为 $h (a)$ ，求函数 $h (a)$ 的值域.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1} ： {\begin{array}{l} x = \sqrt{2} c o s t \\ y = s i n t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{2} ： ρ = r (r > 0)$ ，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程及曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知 $A ， B$ 是曲线 $C_{1}$ 上的两个动点（异于原点），且 $∠ A O B = 90 °$ ，若曲线 $C_{2}$ 与直线 $A B$ 有且仅有一个公共点，求 $r$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 a | + | 2 x - \frac{1}{a} | (a \neq 0)$ .

(1)、 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) \leq 6$ ；

(2)、证明： $f (x) \geq 2$ .

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