江苏省南通市2023届高三下学期第二次调研测试数学模拟试题

试卷更新日期：2023-04-12 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知P，Q为R的两个非空真子集，若 $∁_{R} Q$ $∁_{R} P$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in Q$ ， $x \in P$ B、 $\exists x_{0} \in ∁_{R} P$ ， $x_{0} \in ∁_{R} Q$ C、 $\exists x_{0} \notin Q$ ， $x_{0} \in P$ D、 $\forall x \in ∁_{R} P$ ， $x \in ∁_{R} Q$

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2. 已知 $a - b \in [0 ， 1] ， a + b \in [2 ， 4]$ ，则 $4 a - 2 b$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， 5]$ B、 $[2 ， 7]$ C、 $[1 ， 6]$ D、 $[0 ， 9]$

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3. 将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成成等差数列的概率为（）

A、 $\frac{7}{36}$ B、 $\frac{1}{12}$ C、 $\frac{1}{15}$ D、 $\frac{1}{18}$

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4. 已知复数z的实部和虚部均为整数，则满足 $| z - 1 | \leq | \frac{z}{\bar{z}} |$ 的复数z的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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5. 1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长 $($ 即可见角最大 $) .$ 后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面 $α$ ，悬杆抽象为直线l上两点A， $B$ ，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面 $α$ ， l上的两点A，B位于平面 $α$ 同侧，求平面上一点C，使得 $∠ A C B$ 最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设 $A (0 ， a) ， B (0 ， b) ， C (c ， 0) ， 0 < b < a$ ，当 $∠ A C B$ 最大时， $c =$ （）

A、2ab B、 $\sqrt{a b}$ C、 $2 \sqrt{a b}$ D、ab

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6. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面BCD， $∠ A B D + ∠ C B D = \frac{π}{2} ， B D = B C = 1$ ，则已知三棱锥 $A - B C D$ 外接球表面积的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5} + 1}{4} π$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{5} - 1}{4} π$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} π$

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7. 双曲线 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点分别为 $F ， F^{'}$ ， $A (- a ， 0)$ ， $B (a ， 0)$ ， $P ， Q$ 分别为 $C_{1} ， C_{2}$ 上第一象限内不同于 $B$ 的点，若 $\vec{P A} + \vec{P B} = λ (\vec{Q A} + \vec{Q B}) ， (λ \in R)$ ， $\vec{P F} = \sqrt{3} \vec{Q F^{'}}$ ，则四条直线 $P A ， P B ， Q A ， Q B$ 的斜率之和为（）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、不确定值

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8. 函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) + g (4 - x) = 4 ， g (x) - f (x - 8) = 8$ ， $g (x)$ 关于 $x = 4$ 对称， $g (4) = 8$ ，则 $\sum_{m = 1}^{18} f (2 m)$ 的值为（）

A、-24 B、-32 C、-34 D、-40

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二、多选题

9. 下列命题中正确是（）

A、中位数就是第50百分位数 B、已知随机变量X~ $B (n ， \frac{1}{2})$ ，若 $D (2 X + 1) = 5$ ，则 $n = 10$ C、已知随机变量 $ξ$ ~ $N (μ ， σ^{2})$ ，且函数 $f (x) = P (x < ξ < x + 2)$ 为偶函数，则 $μ = 1$ D、已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172，方差为120，女生样本平均数165，方差为120，则总体样本方差为 $132.25 .$

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10. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中 $∠ C O D = \frac{2 π}{3}$ ， $O C = 3 O A = 3$ ，动点P在 $\overset{⌢}{C D}$ 上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧 $\overset{⌢}{A B}$ 于点Q，且 $\vec{O Q} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $y = x$ ，则 $x + y = \frac{2}{3}$ B、若 $y = 2 x$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 0$ C、 $\vec{A B} \cdot \vec{P Q} \geq - 2$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq \frac{11}{2}$

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11. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A A_{1} = 3 ， A D = 4$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、若直线 $A C_{1}$ 与直线 $C D$ 所成的角为 $φ$ ，则 $t a n φ = \frac{5}{2}$ B、若经过点 $A$ 的直线 $l$ 与长方体所有棱所成的角相等，且 $l$ 与面 $B C C_{1} B_{1}$ 交于点 $M$ ，则 $A M = 2 \sqrt{3}$ C、若经过点 $A$ 的直线 $m$ 与长方体所有面所成的角都为 $θ$ ，则 $s i n θ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若经过点 $A$ 的平面 $β$ 与长方体所有面所成的二面角都为 $μ$ ，则 $s i n μ = \frac{\sqrt{6}}{2}$

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12. 过平面内一点P作曲线 $y = | l n x |$ 两条互相垂直的切线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，切点为 $P_{1}$ 、 $P_{2} (P_{1}$ 、 $P_{2}$ 不重合 $)$ ，设直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别与y轴交于点A、B，则（）

A、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 两点的纵坐标之积为定值 B、直线 $P_{1} P_{2}$ 的斜率为定值 C、线段AB的长度为定值 D、 $△ A B P$ 面积的取值范围为 $(0 ， 1)$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = s i n (x + φ) + c o s x (0 < φ < π)$ 的最大值为 $2$ ，则常数 $φ$ 的值为．

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14. $(x - 1) {(\frac{1}{x^{2022}} + \sqrt{x} + 1)}^{8}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为.（用数字作答）.

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15. 若对于任意的x， $a \in (0 ， + \infty)$ ．不等式 $e^{a x + 2 a b} \geq a^{2} x$ 恒成立，则b的取值范围为．

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16. 弓琴（如图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．下图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系， $F_{1} (- c ， 0)$ 为左焦点， $P_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7)$ 均匀对称分布在上半个椭圆弧上， $P_{i} F_{1}$ 为琴弦，记 $a_{i} = | P_{i} F_{1} | (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7)$ ，数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，且 $a + 64 c = 4 a c$ ，则 $S_{7} + a_{7} - 128$ 取最小值时，椭圆的离心率为.

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四、解答题

17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 为等腰直角三角形， $P A = P C$ ， $A C = 2$ ， $△ A B C$ 为正三角形，D为AC的中点..

(1)、证明：平面 $P D B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的平面角为锐角，且三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值.

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18. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{4} ， \frac{(n + 1) a_{n}}{n^{2}} = \frac{(2 n + 4) a_{n + 1}}{{(n + 1)}^{2}}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、设 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < 2 - \frac{n + 2}{2^{n}}$ .

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19. 设 $(X ， Y)$ 是一个二维离散型随机变量，它们的一切可能取的值为 $(a_{i} ， b_{j})$ ，其中i， $j \in N^{*}$ ，令 $p_{i j} = P (X = a_{i} ， Y = b_{j})$ ，称 $P_{i j} (i ， j \in_{N})$ 是二维离散型随机变量 $(X ， Y)$ 的联合分布列．与一维的情形相似，我们也习惯于把二维离散型随机变量的联合分布列写成下表形式：现有 $n (n \in N^{*})$ 个相同的球等可能的放入编号为1，2，3的三个盒子中，记落下第1号盒子的球的个数为X，落入第2号盒子中的球的个数为 $Y .$

$b_{1}$
$b_{2}$
$b_{3}$
$⋯$
$a_{1}$
$p_{1.1}$
$p_{1.2}$
$p_{1.3}$
$⋯$
$a_{2}$
$p_{2.1}$
$p_{2.2}$
$p_{2.3}$
$⋯$
$a_{3}$
$p_{3.1}$
$p_{3.2}$
$p_{3.3}$
$⋯$
$⋯$
$⋯$
$⋯$
$⋯$
$⋯$

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $(X ， Y)$ 的联合分布列；

(2)、设 $p_{k} = \sum_{m = 0}^{n} P (X = k ， Y = m)$ ， $k \in N$ 且 $k \leq n$ ，求 $\sum_{k = 0}^{n} k p_{k} .$

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20. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{a - c o s B}{a - c o s C} = \frac{s i n B}{s i n C}$ .

(1)、若 $b \neq c$ ，证明： $a^{2} = b + c$ ；

(2)、若 $B = 2 C$ ，证明： $2 c > b > \frac{2}{3}$ .

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，焦距与短轴长均为4．

(1)、求E的方程；

(2)、设任意过 $F_{2}$ 的直线为l交E于M，N，分别作E在点M，N上的两条切线，并记它们的交点为P，过 $F_{1}$ 作平行于l的直线分别交 $P M ， P N$ 于A，B，求 $\frac{| \vec{O A} + \vec{O B} |}{| \vec{O P} |}$ 的取值范围．

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22. 设连续正值函数 $g (x)$ 定义在区间 $I \subseteq (0 ， + \infty)$ 上，如果对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in I$ 都有 $\sqrt{g (x_{1}) \cdot g (x_{2})} \leq g (\sqrt{x_{1} \cdot x_{2}})$ ，则称 $g (x)$ 为“几何上凸函数”．已知 $f (x) = a x - l n x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = e$ ，试判断 $f (x)$ 是否为 $x \in [e^{2} ， + \infty)$ 上的“几何上凸函数”，并说明理由．

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	$b_{1}$	$b_{2}$	$b_{3}$	$⋯$
$a_{1}$	$p_{1.1}$	$p_{1.2}$	$p_{1.3}$	$⋯$
$a_{2}$	$p_{2.1}$	$p_{2.2}$	$p_{2.3}$	$⋯$
$a_{3}$	$p_{3.1}$	$p_{3.2}$	$p_{3.3}$	$⋯$
$⋯$	$⋯$	$⋯$	$⋯$	$⋯$