沪科版数学八年级下册第16章二次根式基础过关单元卷

试卷更新日期：2023-04-12 类型：单元试卷

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一、单选题（每题4分，共40分）

1. 使二次根式 $\sqrt{\frac{1}{2 x - 1}}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq \frac{1}{2}$ B、 $x > \frac{1}{2}$ C、 $x \leq \frac{1}{2}$ D、 $x \geq \frac{1}{2}$

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2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{0.2}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(3 \sqrt{2})}^{2} = 6$ B、 $\sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}} = 2 - \sqrt{3}$ C、 ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2} = 3 - 2$ D、 $(4 + 2 \sqrt{3}) (4 - 2 \sqrt{3}) = 10$

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4. 下列式子中，一定是二次根式的是（）

A、 $\sqrt{- x - 2}$ B、 $\sqrt{x}$ C、 $\sqrt{x^{2} + 1}$ D、 $\sqrt{x^{2} - 2}$

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5. 我们知道 $6 - \sqrt{2}$ 的小数部分b为 $2 - \sqrt{2}$ ，如果用a代表它的整数部分，那么 $a b^{2} - a^{2} b$ 的值是（）

A、8 B、－8 C、4 D、－4

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6. 已知 $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ，则实数 $a$ ， $b$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq 0$ ， $b > 0$ B、 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ C、 $a > 0$ ， $b \geq 0$ D、 $a > 0$ ， $b > 0$

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7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 $\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}$ 的结果是（）

A、 $- 2 b$ B、 $- 2 a$ C、 $2 b - 2 a$ D、0

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8. 已知 $a$ 满足 $| 2021 - a | + \sqrt{a - 2022} = a$ ，则 $a - 2021^{2} = （）$

A、0 B、1 C、2021 D、2022

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中无重叠放入面积分别为16cm²和12 cm²的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）

A、 $(8 - 4 \sqrt{3}) c m^{2}$ B、 $(4 - 2 \sqrt{3}) c m^{2}$ C、 $(16 - 8 \sqrt{3}) c m^{2}$ D、 $(8 \sqrt{3} - 12) c m^{2}$

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10. 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S= $\sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中p= $\frac{a + b + c}{2}$ ；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S= $\frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} - (\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})^{^{2}}}$ ，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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二、填空题（每空5分，共25分）

11. 若代数式 $\sqrt{x - 2023}$ 有意义，则x的取值范围式.

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12. 若最简二次根式 $\sqrt{1 + a}$ 与 $\sqrt{4 - 2 a}$ 能够合并，则a的值为。

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13. $\sqrt{56.7} \approx 7.53$ ， $\sqrt{567} \approx 23.81$ ，则 $\sqrt{5.67} \approx$ .

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14. 电流通过导线时会产生热量，电流，（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足 $Q = I^{2} R t$ ．已知导线的电阻为8Ω，2s时间导线产生72J的热量，则I的值为A．

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15. 已知m为正整数，若 $\sqrt{189 m}$ 是整数，则根据 $\sqrt{189 m} = \sqrt{3 \times 3 \times 3 \times 7 m} = 3 \sqrt{3 \times 7 m}$ 可知m有最小值 $3 \times 7 = 21$ .设n为正整数，若 $\sqrt{\frac{300}{n}}$ 是大于1的整数，则n的最小值为，最大值为.

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三、计算题（共3题，共33分）

16. 计算：

(1)、

(2)、(2 $\sqrt{3} ＋$ 3 $\sqrt{2}$ )²

(3)、 $(\sqrt{3} ＋ \sqrt{2} － 1) (\sqrt{3} － \sqrt{2} ＋ 1)$

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17. 先化简再求 $\frac{1 - 2 a + a^{2}}{a - 1} - \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a + 1}}{a^{2} - a}$ 的值，其中a= $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ．

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18. 在进行二次根式的运算时，如遇到 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，还需做进一步的化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) \times (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3}$ ﹣1．这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．

(1)、请参照以上方法化简 $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算 $\frac{1}{\sqrt{2021} + \sqrt{2019}} + \frac{1}{\sqrt{2019} + \sqrt{2017}} + \frac{1}{\sqrt{2017} + \sqrt{2015}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{3} + 1}$ ．

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四、解答题（共5题，共52分）

19. 数学阅读是学生个体根据已有的知识经验，通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的途径之一.请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：
问题情境：设a，b是有理数，且满足 $a + \sqrt{2} b = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，求 $a b$ 的值.

解：由题意得 $(a - 3) + (b + 2) \sqrt{2} = 0$ ，

∵a，b都是有理数，

∴ $a - 3 ， b + 2$ 也是有理数，

∵ $\sqrt{2}$ 是无理数，

∴ $a - 3 = 0 ， b + 2 = 0$ ，

∴ $a = 3 ， b = - 2$ ，

∴ $a b = (- 2) 3 = - 6$

解决问题：设x，y都是有理数，且满足 $x^{2} - 2 y + \sqrt{5} y = 8 + 4 \sqrt{5}$ ，求 $x + y$ 的值.

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20. 如图，从一个大正方形中裁去面积为 $15 c m^{2}$ 和 $24 c m^{2}$ 的两个小正方形，求留下部分的面积．

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21. 小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$ ，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下
$\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} = \sqrt{2 - 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} + 3}$
＝ $\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}}$
＝ $\sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}}$
$= | \sqrt{2} - \sqrt{3} |$
= $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(1)、结合以上化简过程，请你动手尝试化简 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ．

(2)、善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若 $a + 2 \sqrt{b} =$ ${(\sqrt{m} + \sqrt{n})}^{2}$ ，则 $a + 2 \sqrt{b} = (m + n) + 2 \sqrt{m n}$ ，所以 $a = m + n ， b = m n$ ，若 $a + 2 \sqrt{17} =$ ${(\sqrt{m} + \sqrt{n})}^{2}$ ，且a，m，n为正整数， $m > n$ ；求a，m，n的值．

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22. 解答题

(1)、阅读：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，则这个三角形的面积为 $s = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．

(2)、应用：如图1，在△ABC中，AB=6，AC=5，BC=4，求△ABC面积．

(3)、引申：如图2，在（2）的条件下，AD、BE分别为△ABC的角平分线，它们的交点为I，求：I到AB的距离．

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23. 由 ${(a - b)}^{2} \geq 0$ 得， $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b$ ；如果两个正数a，b，即 $a > 0 ， b > 0$ ，则有下面的不等式： $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取到等号.
例如：已知 $x > 0$ ，求式子 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值.

解：令 $a = x ， b = \frac{4}{x}$ ，则由 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ ，得 $x + \frac{4}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4$ ，当且仅当 $x = \frac{4}{x}$ 时，即 $x = 2$ 时，式子有最小值，最小值为4.

请根据上面材料回答下列问题：

(1)、当 $x > 0$ ，式子 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为；当 $x < 0$ ，则当 $x =$ 时，式子 $4 x + \frac{36}{x}$ 取到最大值；

(2)、用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(3)、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O， $△ A O B$ 、 $△ C O D$ 的面积分别是8和14，求四边形 $A B C D$ 面积的最小值.

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沪科版数学八年级下册第16章 二次根式 基础过关单元卷

一、单选题（每题4分，共40分）

二、填空题（每空5分，共25分）

三、计算题（共3题，共33分）

四、解答题（共5题，共52分）

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