湖北省黄石市大冶市还地桥镇教联体2023年九年级下学期第一学月数学试卷

试卷更新日期：2023-04-11 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 在实数3.14，﹣π， $\frac{1}{3}$ ，﹣ $\sqrt{5}$ 中，倒数最小的数是（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、﹣π D、3.14

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2. 下列图形：①国旗上的五角星，②有一个角为60°的等腰三角形，③一个半径为π的圆，④两条对角线互相垂直平分的四边形，⑤函数y＝ $\frac{1}{x}$ 的图象，其中既是轴对称又是中心对称的图形有（）

A、有1个 B、有2个 C、有3个 D、有4个

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3. 如图的几何体，从左面看的平面图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列运算正确的是（）

A、x⁶÷x³＝x² B、（x³）²＝x⁵ C、 $\sqrt{(- 2)^{2}} = \pm 2$ D、 $\sqrt[3]{(- 2)^{3}} = - 2$

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5. 若式子 $\frac{\sqrt{a + 1}}{a - 2}$ 有意义，则a的取值范围为（）

A、 $a \geq - 1$ B、 $a \neq 2$ C、 $a \geq - 1$ 且 $a \neq 2$ D、 $a > - 1$

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6. 5名同学分别向希望小学捐书3本、5本、4本、3本、6本，其中捐4本的同学后来又追加了3本.追加后的5个数据与之前的5个数据相比（）

A、平均数没变 B、中位数没变 C、众数没变 D、方差没变

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ B = 3 7^{∘}$ ，则劣弧 $\hat{A B}$ 的度数为（）

A、106° B、126° C、74° D、53°

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8. 如图将 $△ A B C$ 绕点 $C (0 ， - 3)$ 旋转 $180 °$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，设点 $A^{'}$ 的坐标为 $(a ， b)$ ，则A的坐标为（）

A、 $(- a ， - b - 3)$ B、 $(- a ， - b - 6)$ C、 $(- a ， - b + 1)$ D、 $(- a ， - b - 2)$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN交AC于点D，交 $A B$ 于点E，若 $C D = 3$ ，则AC的长度为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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10. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，与y轴的交点B在 $(0 ， - 2)$ 和 $(0 ， - 1)$ 之间（不包括这两点），对称轴为直线 $x = 1$ .下列结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a + 2 b + c > 0$ ；③ $4 a c - b^{2} < 8 a$ ；④ $\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$ ；⑤ $b > c$ .其中含所有正确结论的选项是（）

A、①③ B、①③④ C、②④⑥ D、①③④⑤

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二、填空题

11. 计算 ${(π - 3)}^{0} + | - 6 | - 8 \times 4^{- 1} =$ .

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12. 分解因式： $9 a - a^{3}$ =

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13. 从新冠疫情伊始，很多在外工作的游子为了全民健康没有返乡过年，时隔三年，2023年春节终于可以阖家团圆，2023年春运人流量预计有 $2095000000$ 人次，请将数据 $2095000000$ 用科学记数法表示为.

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14. 分式方程 $\frac{2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1}$ ＝1的解为.

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15. 如图.某同学为测量宣传牌的高度 $A B$ ，他站在距离教学楼底部E处9米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）.然后，小明沿坡度 $i = 1 ： \frac{4}{3}$ 的斜坡从C走到F处，此时 $D F$ 正好与地面 $C E$ 平行.他在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，则宣传牌 $A B$ 的高度（结果保留根号）.

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 是直径， $A D = D C$ ， $t a n ∠ A D B = \frac{5}{3}$ ， $B E \cdot B D = 30$ ，则 $⊙ O$ 的直径等于．

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17. 如图，已知 $△ A O B$ 是一块含有 $30 °$ 角的直角三角板，点A是函数 $y = \frac{3}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，点B是函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，则k的值为 .

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18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7 $\sqrt{3}$ ，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 .

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三、解答题

19. 先化简，再求值 $(x - 1 - \frac{2 x - 1}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x + 1}$ ，其中 $x = 1$ .

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 上一点，且 $A D = A B$ ， $A E ∥ B C ， ∠ B A D = ∠ C A E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点F．

(1)、若 $∠ C = 40 °$ ，求 $∠ B$ 的度数；

(2)、若 $A D$ 平分 $∠ B D E$ ，求证： $△ A B C ≅ △ A D E$ ．

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21. 黄石是国家历史文化名城，素有“青铜故里、矿冶之都”的盛名.区域内矿冶文化旅游点有：A.铜绿山古铜矿遗址，B.黄石国家矿山公园，C.湖北水泥遗址博物馆，D.黄石园博园、矿博园.我市八年级某班计划暑假期间到以上四个地方开展研学旅游，学生分成四个小组，根据报名情况绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、全班报名参加研学旅游活动的学生共有人，扇形统计图中A部分所对应的扇形圆心角是；

(2)、补全条形统计图；

(3)、该班语文、数学两位学科老师也报名参加了本次研学旅游活动，他们随机加入A、B两个小组中，求两位老师在同一个小组的概率.

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22. 阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由韦达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ .根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：已知实数a，b满足： $a^{2} - 7 a + 1 = 0$ ， $b^{2} - 7 b + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，则 $a + b =$ ， $a b =$ ；

(2)、间接应用：在（1）条件下，求 $\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}$ 的值；

(3)、拓展应用：已知实数x，y满足： $\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{m} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $m n \neq - 1$ ，求 $\frac{1}{m^{2}} + n^{2}$ 的值.

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23. 某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量

y

（件）是售价

x

（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润

W =

（售价－进价）×月销量，三者有如下数据：

售价 $x$ （元/件）	15	20	30
月销量 $y$ （件）	500	400	200
月销售总利润 $W$ （元）	2500	4000	4000

(1)、试求

y

关于

x

的函数解析式（

x

的取值范围不必写出）；

(2)、玩具的进价为元/件；当玩具售价

x =

元/件时，月销售总利润有最大值为元．

(3)、受市场波动影响，从本月起，该玩具每件的进价上涨

a

元（

a > 0

），且物价局规定该玩具售价最高不得超过25元/件．若月销量

y

与售价

x

仍满足（1）中的关系，预计本月总利润

W

最高为3000元，请你求出

a

的值．

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24. 如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P.

(1)、求证：PC是⊙O的切线；

(2)、连接OD交AC于点G，若OG：GD＝2：3，求∠P的度数；

(3)、如图2，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，若BF＝5 $\sqrt{2}$ ， tan∠PCB＝ $\frac{1}{2}$ ，求线段PB的长.

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25. 如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、 $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于 $C (0 ， - 4)$ .

(1)、求点A的坐标；

(2)、点P在抛物线上，若 $∠ P A B = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ，求出点P的坐标；

(3)、如图2，点D在线段 $O B$ 上， $B E ⊥$ 直线 $C D$ 于点E，当 $S_{△ O C D} = 4 S_{△ B E D}$ 时，直接写出点D的坐标.

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