福建省泉州市2022-2023学年九年级下学期3月教学质量检测（一）数学试卷（一模）

试卷更新日期：2023-04-11 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各式与 $\sqrt{2}$ 可以合并的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{12}$

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2. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $s i n A = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s A$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5 \sqrt{34}}{34}$

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4. 一元二次方程 $x (x - 3) = x$ 的解是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 3$ C、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 0 ， x_{2} = 4$

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5. 一个不透明的盒子中装有 $1$ 个红球和 $2$ 个白球，它们除颜色不同外其它都相同.若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（）

A、摸到黑球是不可能事件 B、摸到白球是必然事件 C、摸到红球与摸到白球的可能性相等 D、摸到红球比摸到白球的可能性大

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6. 用配方法解方程 $x^{2} - 6 x - 1 = 0$ ，若配方后结果为 ${(x - m)}^{2} = 10$ ，则m的值为（）

A、 $\pm 3$ B、3 C、 $- 3$ D、6

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7. 如图，以点O为位似中心，将 $△ O A B$ 放大后得到 $△ O C D$ ， $O A = 3$ ， $A C = 4$ ，则 $\frac{A B}{C D}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ A O B = 120 °$ ，点 $P 、 Q$ 分别是优弧 $A B$ 与劣弧 $A B$ 上的动点，则 $∠ A P Q$ 的度数不可能是（）

A、 $50 °$ B、 $55 °$ C、 $60 °$ D、 $65 °$

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9. 已知“ $α$ 为锐角时， $s i n α$ 随着 $α$ 的增大而增大”，则 $s i n 37 °$ 的值更靠近（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别在边 $A D$ 和 $C D$ 上， $A F ⊥ B E$ ，垂足为G，若 $\frac{A E}{E D} = 2$ ，则 $\frac{A G}{G F}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{7}{8}$

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二、填空题

11. 若二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 意义，则x可以是（写出一个x的值即可）.

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12. 二次函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 的图象与y轴的交点坐标为.

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13. 如图，某商场自动扶梯 $A B$ 的坡度 $i = 1 ∶ 2.5$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ A D$ 垂足为C.若 $A C$ 的长为10米，则高度 $B C$ 为米.

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14. 已知m是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的一个根，则 $3 - m^{2} + 2 m =$ .

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， D是边 $A B$ 上的一点，若 $A D = \frac{3}{4} A B$ ，则 $t a n ∠ D C B =$ .

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16. 如图， $A B 、 A C$ 是 $⊙ O$ 的弦（不是直径），将 $\overset{⌢}{A B}$ 沿 $A B$ 翻折交 $A C$ 于点D.若 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ ，则 $\frac{A D}{C D}$ ＝.

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三、解答题

17. 计算 $\sqrt{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \frac{\sqrt{12} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

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18. 小明在解方程 $x^{2} - 5 x = - 3$ 的过程中出现了错误，其解答如下：
解： $∵ a = 1$ ， $b = - 5$ ， $c = - 3$ ， .................第一步
$∴ b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 \times 1 \times (- 3) = 37$ ， .............第二步
$∴ x = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2}$ ， .........................第三步
$∴ x_{1} = \frac{5 + \sqrt{37}}{2} ， x_{2} = \frac{5 - \sqrt{37}}{2}$ ....................第四步

(1)、问：小明的解答是从第步开始出错的；

(2)、请写出本题正确的解答.

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19. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $B C$ 上， $A F ⊥ D E$ ，垂足为F， $A D = 4$ ， $C E = 2$ ， $D E = 2 \sqrt{10}$ ，求 $D F$ 的长.

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20. 我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺.将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？

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21. 小明学习物理《电流和电路》后设计如图所示的一个电路图，其中 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 分别表示三个可开闭的开关，“ $\otimes$ ”表示小灯泡，“”表示电池.

(1)、当开关 $S_{1}$ 闭合时，再随机闭合开关 $S_{2}$ 或 $S_{3}$ 其中一个，直接写出小灯泡发光的概率；

(2)、当随机闭合开关 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 中的两个，试用树状图或列表法求小灯泡发光的概率.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 是钝角

(1)、求作 $⊙ O$ ，使得圆心O在边 $A C$ 上，且 $⊙ O$ 经过点 $B ， C$ （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，设 $A C$ 与 $⊙ O$ 的另一个交点为D，且 $A C = 2 A B = 4 A D$ 求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线

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23. 某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的部分数据如下表：
售价x（元/件）
80
90
100
110
$⋅ ⋅ ⋅$
销售量y（件）
800
600
400
200
$⋅ ⋅ ⋅$

(1)、根据表中数据，求出y与x之间满足的函数关系式；

(2)、物价部门规定单件利润率不超过 $15 %$ .在（1）的条件下，当产品售价不低于成本时，售价定为多少元，公司每天获得的利润最大？求出最大值.

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24. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点B旋转一定的角度得到 $R t △ E B D$ .

(1)、如图1，当边 $B E$ 恰好经过点C时，边 $A C$ 的延长线交 $E D$ 于点F，连接 $A E$ .求证： $∠ A F E = 2 ∠ E A F$ ；

(2)、如图2，当点D恰好在 $△ A B C$ 中线 $C M$ 的延长线上，且 $C M = 2 M D$ 时， $E D$ 的延长线交 $A B$ 于点G，求 $\frac{A C}{B C}$ 的值.

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - \sqrt{3} (a \neq 0)$ 经过 $A (- 1 ， 0) 、 B (3 ， 0)$ 两点，交y轴于点C，顶点为E.过线段 $O B$ 上动点F作 $C F$ 的垂线交 $B C$ 于点D，直线 $D E$ 交y轴于点G.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $C G = C D$ ，求线段 $O F$ 的长；

(3)、连接 $C E$ ，求 $△ C D E$ 面积的最小值.

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售价x（元/件）	80	90	100	110	$⋅ ⋅ ⋅$
销售量y（件）	800	600	400	200	$⋅ ⋅ ⋅$