吉林省白山市2023届高三数学三模联考试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 8}$ ， $B = {x | 1 - x \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 2)$ B、 $[1 ， 2 \sqrt{2})$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[0 ， 3)$

查看试题解析
2. 若 $z = 1 - i$ ，则 $| z^{2} + 1 | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0)$ ，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} + 6$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{22}$ D、 $2 \sqrt{6}$

查看试题解析
4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

查看试题解析
5. 设 $a = l o g_{5} 3 ， b = e^{- 1} ， c = l o g_{16} 9 \cdot l o g_{27} 8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

查看试题解析
6. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 0]$ 上（）

A、单调递增 B、单调递减 C、先增后减 D、先减后增

查看试题解析
7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比的平方不为 $1 ， b_{n} \in N^{*}$ ，则“ ${a_{b_{n}}}$ 是等比数列”是“ ${b_{n}}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
8. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $3 \sqrt{3}$ ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）

A、 $12 π$ B、 $6 π$ C、 $16 π$ D、 $8 π$

查看试题解析

二、多选题

9. 某校抽取了某班20名学生的化学成绩，并将他们的成绩制成如下所示的表格.
成绩
60
65
70
75
80
85
90
人数
2
3
3
5
4
2
1
下列结论正确的是（）

A、这20人成绩的众数为75 B、这20人成绩的极差为30 C、这20人成绩的 $25 %$ 分位数为65 D、这20人成绩的平均数为75

查看试题解析
10. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) = 1$ ，则 $y = f (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
11. 存在函数 $f (x)$ ，对任意 $x ∈ R$ 都有 $f (g (x)) = x$ ，则函数 $g (x)$ 不可能为（）

A、 $c o s x$ B、 ${\begin{array}{l} - x^{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{array}$ C、 $x^{3} - x$ D、 $e^{x} - e^{- x}$

查看试题解析
12. 设双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F ， M (0 ， 3 b)$ ，若直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，且 $F$ 为 $△ M A B$ 的重心，则（）

A、 $E$ 的离心率的取值范围为 $(\frac{\sqrt{13}}{3} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$ B、 $E$ 的离心率的取值范围为 $(\frac{2 \sqrt{13}}{7} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$ C、直线 $l$ 斜率的取值范围为 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{9})$ D、直线 $l$ 斜率的取值范围为 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{3})$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $t a n α = 3$ ，则 $\frac{s i n (α - \frac{π}{4}) c o s (α + \frac{π}{4})}{s i n 2 α} =$ ．

查看试题解析
14. 现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为.

查看试题解析
15. 写出一条与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 和曲线 $y = x^{2} + 5$ 都相切的直线的方程：.

查看试题解析
16. 在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $M$ 为 $S C$ 的中点，过 $A M$ 作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为 $V_{1} ， V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ 的最大值是.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ + (2 n - 1) a_{n} = n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{19 a_{n}} ， n 为奇数， \\ a_{n} a_{n + 2} ， n 为偶数， \end{array}$ 数列 ${c_{n}}$ 的前20项和.

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $a c o s (B - C) = (2 \sqrt{3} c s i n B - a) c o s A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{b^{2} + a^{2}}{b}$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 某学校食堂中午和晚上都会提供 $A ， B$ 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择 $A$ 类套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，选择 $B$ 类套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ；在中午选择 $A$ 类套餐的前提下，晚上还选择 $A$ 类套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，选择 $B$ 类套餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ；在中午选择 $B$ 类套餐的前提下，晚上选择 $A$ 类套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选择 $B$ 类套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、若同学甲晚上选择 $A$ 类套餐，求同学甲中午也选择 $A$ 类套餐的概率；

(2)、记某宿舍的4名同学在晚上选择 $B$ 类套餐的人数为 $X$ ，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求 $X$ 的分布列及数学期望.

查看试题解析
20. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $A B$ 上一点，且 $E F ⊥ A B$ .现将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ B^{'} E F$ ，如图2.

(1)、证明： $E F ⊥ A B^{'}$ .

(2)、已知二面角 $B^{'} - E F - A$ 为 $\frac{π}{3}$ ，在棱 $A C$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $B C$ 与平面 $B^{'} M F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，确定 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. 已知 $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，且 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上， $P F$ 垂直于 $x$ 轴.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ （异于点 $P$ ）两点， $D$ 为直线 $l$ 上一点.设直线 $P A ， P D ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ ，若 $k_{1} + k_{3} = 2 k_{2}$ ，证明：点 $D$ 的横坐标为定值.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - b x - c (0 < a ⟨ 1 ， b ⟩ 0)$ .

(1)、若 $a = b$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，且 $x_{1} > x_{2}$ ，证明： $\frac{e^{x_{1}}}{a} + \frac{e^{x_{2}}}{1 - a} > \frac{4 b}{a}$ .

查看试题解析

成绩	60	65	70	75	80	85	90
人数	2	3	3	5	4	2	1