湖南省株洲市2023届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} + 4 x < 0}$ ，集合 $B = {n | n = 2 k - 1 ， k \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 3 ， - 1}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 3 ， - 1 ， 1 ， 3}$

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2. 已知i为虚数单位，若复数z满足 $z \cdot i = 2 + 3 i$ ，则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $\vec{A E} = 3 \vec{E B}$ ，若 $\vec{E C} = a \vec{A B} + b \vec{A D} (a ， b \in R)$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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4. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的侧面展开图放在正方形网格中的位置如图所示，那么在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B$ 与 $C D$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5. 在平面直角坐标系中，已知两点 $O (0 ， 0)$ ， $A (3 ， 4)$ 到直线 $l$ 的距离分别是1与4，则满足条件的直线 $l$ 共有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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6. 今年11月，为预防新冠疫情蔓延，株洲市有 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ 三个小区被隔离；从菜市场 $M$ 出发的专车必须每天准时到这3个小区运送蔬菜，以解决小区居民的日常生活问题． $M$ ， $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， $M_{3}$ 之间的行车距离用表中的数字表示．若专车从 $M$ 出发，每个小区经过且只经过一次，然后再返回 $M$ ，那么专车行驶的最短距离是（）

$M$
$M_{1}$
$M_{2}$
$M_{3}$
$M$
0
7
6
3
$M_{1}$
7
0
5
4
$M_{2}$
6
5
0
8
$M_{3}$
3
4
8
0

A、17 B、18 C、23 D、25

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7. 已知曲线 $x y = 1$ 为双曲线，则该双曲线的焦距为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 已知 $a = e^{0.1}$ ， $b = \frac{11}{10}$ ， $c = \sqrt[10]{1.9}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 已知各项均为正数的等差数列 ${a_{n}}$ ，且 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{3} + a_{7} = a_{4} + a_{6}$ B、 $a_{3} \cdot a_{7} > a_{4} \cdot a_{6}$ C、数列 ${a_{2 n + 1}}$ 是等差数列 D、数列 ${a_{2 n}}$ 是等比数列

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10. 关于函数 $f (x) = c o s x + a s i n x (a \neq 0)$ 有以下四个选项，正确的是（）

A、对任意的a， $f (x)$ 都不是偶函数 B、存在a，使 $f (x)$ 是奇函数 C、存在a，使 $f (x + π) = f (x)$ D、若 $f (x)$ 的图像关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称，则 $a = 1$

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11. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长均相等，其外接球的球心为O．点E满足 $\vec{A E} = λ \vec{A B} (0 < λ < 1)$ ，过点E作平行于 $A C$ 和 $B D$ 的平面 $α$ ， $α$ 分别与棱 $B C ， C D ， A D$ 相交于点 $F ， G ， H$ ，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，平面 $α$ 经过球心O B、四边形 $E F G H$ 的周长随 $λ$ 的变化而变化 C、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，四棱锥 $A - E F G H$ 的体积取得最大值 D、设四棱锥 $O - E F G H$ 的体积为 $V (λ) (λ \neq \frac{1}{2})$ ，则 $V (λ) = V (1 - λ)$

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12. 已知 $s i n 15 °$ 是函数 $f (x) = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} (a_{4} ， a_{3} ， a_{2} ， a_{1} ， a_{0} \in Z ， a_{4} \neq 0)$ 的零点，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{a_{4}}{a_{0}} = 16$ B、 $f (c o s 15 °) = 0$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、 $f {(x)}_{m i n} = - 3$

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三、填空题

13. 在 $(1 - x^{2}) {(x + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项等于．（用数字作答）

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14. 已知 $f (x) = s i n ω x (ω \in N^{*})$ ，若在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上存在两个不相等的实数a，b，满足 $f (a) + f (b) = 2$ ，则 $ω$ 可以为．（填一个值即可）

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15. 过原点的直线l与曲线 $y = e^{x - 1}$ 交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线 $y = l n x$ 交于C，D两点，则直线CD的斜率为．

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆C于P，Q两点，若 $\vec{P F_{1}} = \frac{4}{3} \vec{F_{1} Q}$ ，且 $| \vec{P F_{2}} | = | \vec{F_{1} F_{2}} |$ ，则椭圆C的离心率为．

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四、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = ∠ D C B = 9 0^{∘} ， ∠ A B C = 6 0^{∘} ， A B = 2 \sqrt{3} ， A D = 4$ .

(1)、求 $c o s ∠ D B C$ 的值；

(2)、求 $A C$ 的长度.

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18. 2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是 $\frac{1}{5}$ ，若未成功，仍有 $\frac{1}{4}$ 的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．

(1)、求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；

(2)、求乙获得的门票数比甲多的概率．

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19. 如图（1），已知菱形ABCD中 $∠ D A B = 60 °$ ，沿对角线BD将其翻折，使 $∠ A B C = 90 °$ ，设此时AC的中点为O，如图（2）．

(1)、求证：点O是点D在平面 $A B C$ 上的射影；

(2)、求直线AD与平面BCD所成角的余弦值．

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20. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} - a_{n}^{2} = 2 a_{n}$ .

(1)、若 $2^{b_{n}} = a_{n} + 1$ ，求证： ${b_{n}}$ 是等比数列.

(2)、若 $c_{n} = \frac{n}{b_{n}} + 1$ ， ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求满足 $T_{n} < 100$ 的最大整数 $n$ .

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21. 已知曲线 $M ： x^{2} = 4 y$ 与曲线N关于直线 $y = x$ 对称，且 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点在曲线N上．

(1)、若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 为正三角形，且其中一个顶点为坐标原点，求此时该三角形的面积；

(2)、若 $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ 三边所在的三条直线中，有两条与曲线M相切，求证第三条直线也与曲线M相切．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{8}$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．

(1)、若 $f (x_{1}) = 0$ ，求a的值；

(2)、若 $\frac{x_{2}}{x_{1}} \geq 2$ ，求a的取值范围．

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	$M$	$M_{1}$	$M_{2}$	$M_{3}$
$M$	0	7	6	3
$M_{1}$	7	0	5	4
$M_{2}$	6	5	0	8
$M_{3}$	3	4	8	0