湖南省张家界市2023届高三下学期数学3月高考模拟试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $B = {x \in N | x < 5}$ .则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 ${3 ， 4}$ C、 ${- 2 ， - 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 已知复数 $z = \frac{- 1 + i}{i}$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 有3本不同的科技类书，2本不同的文艺类书，若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一类别的书都不相邻的概率是（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等差数列，其公差为 $d \neq 0$ ，若 $l n a_{1}$ ， $l n a_{3}$ ， $l n a_{6}$ 也是等差数列，则其公差为（）

A、 $l n d$ B、 $l n 2 d$ C、 $l n \frac{2}{3}$ D、 $l n \frac{3}{2}$

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5. 函数 $f (x) = (\frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}}) c o s (\frac{π}{2} - x)$ 的部分图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 将函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 得到曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 的标准方程是（）

A、 $x^{2} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $y^{2} - x^{2} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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7. 已知 $a > b > 0$ ，且 $a l o g_{a} b = b$ ，则 $a$ 的取值范围是（）
（注：选项中的 $e$ 为自然对数的底数）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， e)$ C、 $(0 ， e)$ D、 $(e ， + ∞)$

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8. 鲁班锁是我国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，其内部的凹凸部分啮合十分精巧.图1是一种鲁班锁玩具，图2是其直观图.它的表面由八个正三角形和六个正八边形构成，其中每条棱长均为2.若该玩具可以在一个正方体内任意转动（忽略摩擦），则此正方体表面积的最小值为（）

A、 $96 + 48 \sqrt{2}$ B、 $120 + 72 \sqrt{2}$ C、 $144 + 96 \sqrt{2}$ D、 $168 + 96 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{3} > b^{3}$ D、若 $| a | > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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10. 下列说法中正确的是（）

A、一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 B、若随机变量 $ξ ∼ N (2 ， σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ，则 $P (2 < ξ < 4) = 0.4$ C、袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件 $A =$ {第一次抽到的是红球}，事件 $B =$ {第二次抽到的是白球}，则 $P (B | A) = \frac{2}{5}$ D、已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是 $\hat{y} = 0.4 x + \hat{a}$ ，且由样本数据算得 $\bar{x} = 4$ ， $\bar{y} = 3.7$ ，则 $\hat{a} = 2.1$

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{1} - x_{2} | _{m i n} = π$ B、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称 C、若 $f (ω x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则 $ω$ 的取值范围为 $[\frac{15}{4} ， \frac{19}{4})$ D、 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，令 $g (x) = f (x) \cdot f^{'} (x)$ .则 $g (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上的值域为 $(0 ， 1)$

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12. 过抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F的直线 $l$ 交抛物线E于A，B两点（点A在第一象限），M为线段AB的中点.若 $| A F | = 2 | B F | = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、抛物线E的准线方程为 $y = - 4$ B、过A，B两点作抛物线的切线，两切线交于点N，则点N在以AB为直径的圆上 C、若 $O$ 为坐标原点，则 $| O M | = \frac{\sqrt{33}}{2}$ D、若过点 $F$ 且与直线 $l$ 垂直的直线 $m$ 交抛物线于C，D两点，则 $| A B | \cdot | C D | = 144$

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ 是单位向量， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ，若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角 $α \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，写出一个满足上述条件的向量 $\vec{a}$ .

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14. 已知 $α$ 为锐角， $1 + \frac{\sqrt{3}}{t a n 80 °} = \frac{1}{s i n α}$ ，则 $α =$ ．

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15. 已知直线 $l ： y = \sqrt{3} x$ 与圆心坐标为 $(0 ， t)$ （ $t$ 为整数）且经过点 $P (2 ， 4)$ 的圆C相切，直线m： $a x + y + 2 a = 0$ 与圆C相交于A、B两点，则下列说法正确的是.
①圆C的标准方程为 $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ；
②若 $∠ A P B = 9 0^{∘}$ ，则实数 $a$ 的值为2；
③若 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ ，则直线 $m$ 的方程为 $x - y + 2 = 0$ 或 $7 x - y + 14 = 0$ ；
④弦 $A B$ 的中点M的轨迹方程为 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ .

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x e^{x} ， 0 < x < 1 \\ x l n x ， x \geq 1 \end{array}$ 的图像与直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{1}{s i n^{2} α}$ 交于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，与直线 $l_{2}$ ： $y = \frac{1}{2 c o s^{2} α}$ 交于两点 $C (x_{3} ， y_{3})$ 、 $D (x_{4} ， y_{4})$ ，其中 $x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 记 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $a s i n (B + C) = b (s i n B - s i n C) + c s i n C$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值.

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19. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C_{1} ⊥ A_{1} C$ ， $D$ 为线段 $A_{1} C$ 上的动点， $A C_{1} ⊥ B D$ .

(1)、求证：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A A_{1} ⊥ A C$ ， D为线段 $A_{1} C$ 的中点， $A C = 2 B C = 2$ ，求 $B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值.

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20. 2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：
其中 $(50 ， 70]$ 称为合格， $(70 ， 90]$ 称为中等， $(90 ， 110]$ 称为良好， $(110 ， 130]$ 称为优秀， $(130 ， 150]$ 称为优异．

(1)、根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；

(2)、现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．

(3)、现从线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．

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21. 已知曲线C的方程： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (x > 0)$ ，倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ 过点 $F_{2} (3 ， 0)$ ，且与曲线C相交于A，B两点.

(1)、 $α = 90 °$ 时，求三角形 $A B O$ 的面积；

(2)、在x轴上是否存在定点M，使直线 $l$ 与曲线C有两个交点A、B的情况下，总有 $∠ O M A = ∠ O M B$ ?如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x (l n x - \frac{1}{2} x - 1)$ ， $h (x) = (a - 3) x + (1 - a + x) l n x - 1$ .

(1)、 $F (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，求 $F (x)$ 的最值；

(2)、若函数 $g (x) = h (x) - f (x)$ 恰有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围.

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