湖南省邵阳市2023届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $\frac{3 - i}{- 1 + i}$ （ $i$ 为虚数单位）对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = [- 2 ， 5]$ ， $B = [m + 1 ， 2 m - 1]$ ．若“ $x ∈ B$ ”是“ $x ∈ A$ ”的充分不必要条件，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 3]$ B、 $(2 ， 3]$ C、 $\emptyset$ D、 $[2 ， 3]$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{c} = (4 ， 5)$ ．若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} + λ \vec{c}$ 垂直，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{19}$ B、 $\frac{4}{11}$ C、2 D、 $- \frac{4}{7}$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{5} x | ， 0 < x < 5 ， \\ - c o s (\frac{π}{5} x) ， 5 \leq x \leq 15 . \end{array}$ 若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4} (x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4})$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{375}{4})$ B、 $(0 ， 100)$ C、 $(75 ， \frac{375}{4})$ D、 $(75 ， 100)$

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5. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第 $x$ 天到该电商平台专营店购物人数 $y$ （单位：万人）的数据如下表：
日期
2月1日
2月2日
2月3日
2月4日
2月5日
第x天
1
2
3
4
5
人数y（单位：万人）
75
84
93
98
100
依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数 $x$ 与到该电商平台专营店购物的人数 $y$ （单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数 $y$ 与直播天数 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 6.4 x + a$ ．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（）

A、312 B、313 C、314 D、315

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6. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，半焦距为 $c$ ．在椭圆上存在点 $P$ 使得 $\frac{a}{s i n ∠ P F_{1} F_{2}} = \frac{c}{s i n ∠ P F_{2} F_{1}}$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2} - 1 ， 1)$ B、 $(\sqrt{2} - 1 ， 1)$ C、 $(0 ， \sqrt{2} - 1)$ D、 $(0 ， \sqrt{2} - 1]$

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7. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A D = 1$ ， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A F = 3$ ，点 $E$ 为线段 $C D$ （除端点外）上的动点，沿直线 $A E$ 将 $△ D A E$ 翻折到 $△ D^{'} A E$ ，则下列说法中正确的是（）

A、当点 $E$ 固定在线段 $C D$ 的某位置时，点 $D^{'}$ 的运动轨迹为球面 B、存在点 $E$ ，使 $A B ⊥$ 平面 $D^{'} A E$ C、点 $A$ 到平面 $B C F$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、异面直线 $E F$ 与 $B C$ 所成角的余弦值的取值范围是 $(\frac{\sqrt{13}}{13} ， \frac{\sqrt{10}}{10})$

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8. 若不等式 $t e^{t x} - (1 - \frac{1}{x}) l n (x - 1) \geq 0$ 对任意 $x \in [2 e + 1 ， + ∞)$ 恒成立，则正实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{l n 2}{2 e + 1} ， + ∞)$ B、 $[\frac{l n 2 + 1}{2 e + 1} ， + ∞)$ C、 $(0 ， \frac{l n 2 + 1}{2 e + 1})$ D、 $[\frac{l n 2}{2 e + 1} ， \frac{l n 2 + 1}{2 e + 1}]$

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二、多选题

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A A_{1}}$ ， $\vec{C F} = \frac{3}{4} \vec{C C_{1}}$ ，则（）

A、 $∠ E B F$ 为钝角 B、 $A D_{1} ⊥ A_{1} C$ C、 $E D / /$ 平面 $B_{1} D_{1} F$ D、直线 $E F$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$

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10. 若函数 $f (x) = 2 c o s ω x (c o s ω x - s i n ω x) - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $f (- \frac{π}{24}) = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{5 π}{2}]$ 内有5个零点 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[- 1 ， 1]$

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11. 已知点 $P$ 为定圆 $O$ 上的动点，点 $A$ 为圆 $O$ 所在平面上的定点，线段 $A P$ 的中垂线交直线 $O P$ 于点 $Q$ ，则点 $Q$ 的轨迹可能是（）

A、一个点 B、直线 C、椭圆 D、双曲线

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} l n (x + 1)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数，则（）

A、函数 $y = f^{'} (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增 B、函数 $y = f^{'} (x)$ 有唯一极小值 C、函数 $y = f (x) - x$ 在 $(- 1 ， 0)$ 上有且只有一个零点 $t$ ，且 $t \in (- \frac{1}{2} ， 0)$ D、对于任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x_{1} + x_{2}) > f (x_{1}) + f (x_{2})$ 恒成立

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三、填空题

13. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 9$ ，则 $\frac{36}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为．

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14. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 $e \approx 2.71828$ ．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有个．

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15. 已知直线 $l$ 是曲线 $y = l n (x - 2) + 2$ 与 $y = l n (x - 1)$ 的公切线，则直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点坐标为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $n a_{n + 1} = 2 (n + 2) a_{n} (n \in N^{*})$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} =$ ， $S_{n} + 2 =$ ．

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 4 a_{n} - 3$ ，记 $b_{n} = l o g_{2} (a_{n} - 1) + 3$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{b_{n} + 1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} \geq \frac{2}{21}$ ．

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18. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点 $C$ 处正上空 $100 \sqrt{3} m$ 的点 $P$ 处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点 $C$ 西南方向的草从 $A$ 处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点 $B$ 处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．

(1)、求此时猎豹与羚羊之间的距离 $A B$ 的长度；

(2)、若此时猎豹到点 $C$ 处比到点 $B$ 处的距离更近，且开始以 $25 m / s$ 的速度出击，与此同时机警的羚羊以 $20 m / s$ 的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑 $600 m$ ，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能?请说明原因．

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 4$ ．平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $∠ D A O = ∠ A O P = 60 °$ ， $O A = O P$ ， E，F，G分别为 $B C$ ， $P D$ ， $P C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $A F G B$ ；

(2)、求平面 $P D E$ 与平面 $A B C D$ 所成锐二面角的正切值．

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20. 为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：
①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；
②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为 $2 ： 0$ ，则不需要再踢第5轮）；
③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．
假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)、假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为 $\frac{1}{5}$ ，中间方向扑出的可能性为 $\frac{3}{5}$ ．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数 $X$ 的分布列和数学期望．

(2)、现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名队员射进点球的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，乙队每名队员射进点球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率．

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < a ⟨ 10 ， b ⟩ 0)$ 的右顶点为 $A$ ，左焦点 $F (- c ， 0)$ 到其渐近线 $b x + a y = 0$ 的距离为2，斜率为 $\frac{1}{3}$ 的直线 $l_{1}$ 交双曲线 $C$ 于A，B两点，且 $| A B | = \frac{8 \sqrt{10}}{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $T (6 ， 0)$ 的直线 $l_{2}$ 与双曲线 $C$ 交于P，Q两点，直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与直线 $x = 6$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，试问：以线段 $M N$ 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} c o s x$ ， $g (x) = x - c o s x$ ．

(1)、对任意的 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ ， $t f (x) - g^{'} (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、设方程 $f (x) = g^{'} (x)$ 在区间 $(2 n π + \frac{π}{3} ， 2 n π + \frac{π}{2}) (n \in N^{*})$ 内的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ， …，求证： $x_{n + 1} - x_{n} > 2 π$ ．

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日期	2月1日	2月2日	2月3日	2月4日	2月5日
第x天	1	2	3	4	5
人数y（单位：万人）	75	84	93	98	100