湖南省九校联盟2023届高三下学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | < 1} ， B = {x | x \geq a}$ ，且 $A \begin{matrix} \subset \\ \neq \end{matrix} B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 0]$ C、 $[0 ， + ∞)$ D、 $[1 ， + \infty)$

查看试题解析
2. 在复数范围内解得方程 $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ 的两根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $| x_{1} - x_{2} | =$ （）

A、4 B、1 C、2 D、3

查看试题解析
3. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} | c o s x |$ ，则下列论述正确的是（）

A、 $\exists x_{1} ， x_{2} \in (0 ， 2 π)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ B、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (\frac{π}{2} ， π]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ 恒成立 C、使 $f (x)$ 有意义的必要不充分条件为 $x \in {x \in R | x \neq \frac{k π}{2} ， k \in Z}$ D、使 $f (x) \geq - \frac{1}{2}$ 成立的充要条件为 $x \in {x \in R | - \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}}$

查看试题解析
4. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为 $100 π$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{175 π}{3}$ B、 $75 π$ C、 $\frac{238 π}{3}$ D、 $\frac{259 π}{3}$

查看试题解析
5. 两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面 $α ∥ P Q$ ，平面 $α$ 截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
6. 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）

A、将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ${\bar{x}}_{1} ， {\bar{x}}_{2}$ 和 $s_{1}^{2} ， s_{2}^{2}$ ，且已知 ${\bar{x}}_{1} = {\bar{x}}_{2}$ ，则总体方差 $s^{2} = \frac{1}{2} (s_{1}^{2} + s_{2}^{2})$ B、在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数 $r$ 越接近于1 C、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，若 $P (X ⩾ - 1) + P (X ⩾ 5) = 1$ ，则 $μ = 2$ D、按从小到大顺序排列的两组数据：甲组： $27 ， 30 ， 37 ， m ， 40 ， 50$ ；乙组： $24 ， n ， 33 ， 44 ， 48 ， 52$ ，若这两组数据的第30百分位数､第50百分位数都分别对应相等，则 $m + n = 67$

查看试题解析
7. 如图， $O$ 是平行四边形 $A B C D$ 所在平面内的一点，且满足 $∠ A O B = \frac{1}{2} ∠ B O C = \frac{π}{6} ， 2 \sqrt{3} | \vec{O A} | = 2 | \vec{O B} | = 3 | \vec{O C} | = 6$ ，则 $| \vec{O D} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

查看试题解析
8. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a b \neq 0$ ，对任意 $x > 0$ 均有 $(l n x - a) (x - b) (x - a - b) \geq 0$ ，则（）

A、 $a < 0$ ， $b < 0$ B、 $a < 0$ ， $b > 0$ C、 $a > 0$ ， $b < 0$ D、 $a > 0$ ， $b > 0$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，且 $y = f (2 - x)$ 为偶函数，则下列说法一定正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为2 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(1 ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 3$ 对称

查看试题解析
10. 已知 $A ， B$ 为圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上的两点， $P$ 为直线 $l ： x + y - 2 = 0$ 上一动点，则（）

A、直线 $l$ 与圆 $O$ 相离 B、当 $A ， B$ 为两定点时，满足 $∠ A P B = \frac{π}{2}$ 的点 $P$ 有2个 C、当 $| A B | = \sqrt{3}$ 时， $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最大值是 $2 \sqrt{2} + 1$ D、当 $P A ， P B$ 为圆 $O$ 的两条切线时，直线 $A B$ 过定点 $(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < 2 π)$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{4 π}{3}$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{6} ， - \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、将函数 $y = c o s x$ 图象上各点横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得函数 $f (x)$ 的图象 D、函数 $y = 4 f (x) + \sqrt{2 x + \frac{π}{3}}$ 的零点个数为7

查看试题解析
12. 如图，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为3，点 $M$ 是侧面 $A D D^{'} A^{'}$ 上的一个动点（含边界），点 $P$ 在棱 $C C^{'}$ 上，且 $| P C^{'} | = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、沿正方体的表面从点 $A$ 到点 $P$ 的最短路程为 $2 \sqrt{10}$ B、保持 $P M$ 与 $B D^{'}$ 垂直时，点 $M$ 的运动轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ C、若保持 $| P M | = \sqrt{13}$ ，则点 $M$ 的运动轨迹长度为 $\frac{4}{3} π$ D、当 $M$ 在 $D^{'}$ 点时，三棱锥 $B^{'} - M A P$ 的外接球表面积为 $\frac{99}{4} π$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 ${(x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为.

查看试题解析
14. 对于一个给定的数列 ${a_{n}}$ ，把它的连续两项 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 的差 $a_{n + 1} - a_{n}$ 记为 $b_{n}$ ，得到一个新数列 ${b_{n}}$ ，把数列 ${b_{n}}$ 称为原数列 ${a_{n}}$ 的一阶差数列.若数列 ${b_{n}}$ 为原数列 ${a_{n}}$ 的一阶差数列，数列 ${c_{n}}$ 为原数列 ${b_{n}}$ 的一阶差数列，则称数列 ${c_{n}}$ 为原数列 ${a_{n}}$ 的二阶差数列.已知数列 ${a_{n}}$ 的二阶差数列是等比数列，且 $a_{1} = 2 ， a_{2} = 3 ， a_{3} = 6 ， a_{4} = 13$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

查看试题解析
15. 已知直线 $l ： y = - 1$ ，抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A ， B$ 两点，点 $B$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $P$ .若过点 $A ， B$ 的圆与直线 $l$ 相切，且与直线 $P B$ 交于点 $Q$ ，则当 $\vec{Q B} = 3 \vec{P Q}$ 时，直线 $A B$ 的斜率为.

查看试题解析
16. 已知不等式 $e^{x} \geq a l n \frac{a (x - 1)}{e} (a > 0)$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $a ， b ， c$ 分别为三角形 $A B C$ 三个内角 $A ， B ， C$ 的对边，且有 $2 s i n (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{a}$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $2 C D = A D = B D$ ，求 $s i n C$ .

查看试题解析
18. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 1 ， \frac{S_{n}}{a_{n + 1}} - \frac{S_{n}}{a_{n}} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，试求 $T_{2 n - 1}$ 除以3的余数.

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B$ ∥ $C D ，$ $A B ⊥ B C ， A B = B C = 3 ， C D = 4 ， P C = P D = \sqrt{22} ， P A = \sqrt{10}$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A C$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

查看试题解析
20. 直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力贫困地区农民脱贫增收.某贫困地区有统计数据显示，2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有 $\frac{5}{6}$ 是“年轻人”.
参考数据：独立性检验临界值表
$α$
$0.15$
$0.10$
$0.050$
$0.025$
$0.010$
$x_{a}$
$2.072$
$2.706$
$3.841$
$5.024$
$6.635$
$\begin{matrix} 其中 χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d . \end{matrix}$

(1)、现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，根据 $α = 0.10$ 的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？
使用直播销售情况与年龄列联表

年轻人
非年轻人
合计
经常使用直播售用户
不常使用直播销售用户
合计

(2)、某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售､根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 $\frac{7}{10} ， \frac{1}{5} ， \frac{1}{10}$ .方案二：线上直播销售.根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{5} ， \frac{3}{10} .$ 针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由.

查看试题解析
21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $W ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，椭圆 $W$ 上的点与点 $P (0 ， 2)$ 的距离的最大值为4.

(1)、求椭圆 $W$ 的标准方程；

(2)、点 $B$ 在直线 $x = 4$ 上，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B_{1}$ ，直线 $P B ， P B_{1}$ 分别交椭圆 $W$ 于 $C ， D$ 两点（不同于 $P$ 点）.求证：直线 $C D$ 过定点.

查看试题解析
22. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x - a l n (x - a) ， a \in R$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是函数 $g (x) = f (x + a) - a (x + \frac{1}{2} a - 1)$ 的两个极值点，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $0 < f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{1}{2}$ .

查看试题解析

$α$	$0.15$	$0.10$	$0.050$	$0.025$	$0.010$
$x_{a}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$

	年轻人	非年轻人	合计
经常使用直播售用户
不常使用直播销售用户
合计