河南省南阳市2022-2023学年高三理数第二次大练习试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | - 2 < x < 3}$ ，则集合 $A$ 的所有非空真子集的个数是（）

A、6 B、7 C、14 D、15

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2. 欧拉公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ 把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足 $(e^{i π} + i) \cdot z = 1$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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3. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} a_{3} = 4 ， a_{9} = 256$ ，则 $a_{8}$ 等于（）

A、128 B、64 C、64或 $- 64$ D、128或 $- 128$

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4. 若抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上的一点M到坐标原点O的距离为 $\sqrt{3}$ ，则点M到该抛物线焦点的距离为（）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、1

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5. 变量X与Y相对应的一组数据为 $(10 ， 1)$ ， $(11.3 ， 2)$ ， $(11.8 ， 3)$ ， $(12.5 ， 4)$ ， $(13 ， 5)$ ；变量U与V相对应的一组数据为 $(10 ， 5)$ ， $(11.3 ， 4)$ ， $(11.8 ， 3)$ ， $(12.5 ， 2)$ ， $(13 ， 1)$ . $r_{1}$ 表示变量Y与X之间的线性相关系数， $r_{2}$ 表示变量V与U之间的线性相关系数，则（）.

A、 $r_{2} < r_{1} < 0$ B、 $0 < r_{2} < r_{1}$ C、 $r_{2} < 0 < r_{1}$ D、 $r_{2} = r_{1}$

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6. 如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的各条棱长都相等， $M$ 是侧棱 $C C_{1}$ 的中点， $N$ 是 $A B_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A_{1} N / / C_{1} A$ B、 $A_{1} N$ $/ /$ 平面 $B A M$ C、 $A B_{1} ⊥$ 平面 $A B M$ D、 $B M ⊥ A B_{1}$

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7. 锐角 $△ A B C$ 是单位圆的内接三角形，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = 4 a^{2} c o s A - 2 a c c o s B$ ，则 $a$ 等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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8. 讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为（）

A、20 B、30 C、35 D、210

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9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) - \sqrt{3}$ （其中 $ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图像与 $x$ 轴相邻两个交点之间的最小距离为 $\frac{π}{6}$ ，当 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 时， $f (x)$ 的图像与 $x$ 轴的所有交点的横坐标之和为 $\frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $ω = \frac{1}{2} ， φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = \frac{1}{2} ， φ = \frac{π}{3}$ C、 $ω = 2 ， φ = \frac{π}{6}$ D、 $ω = 2 ， φ = \frac{π}{3}$

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10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 $A ， B$ 存在如下关系： $P (A | B) = \frac{P (A) P (B | A)}{P (B)}$ ， $2023$ 贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的．小明同学家附近有甲､乙两家影院，小明第一天去甲､乙两家影院观影的概率分别为0.4和0.6．如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小明同学（）

A、第二天去甲影院的概率为0.44 B、第二天去乙影院的概率为0.44 C、第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为 $\frac{4}{9}$ D、第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为 $\frac{8}{23}$

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11. 传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， $O_{1} ， O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心， $O$ 为球心， $E F$ 为底面圆 $O_{1}$ 的一条直径，若球的半径 $r = 2$ ，则（）

A、球与圆柱的表面积之比为 $1 ： 2$ B、平面 $D E F$ 截得球的截面面积取值范围为 $[\frac{6 π}{5} ， 16 π]$ C、四面体 $C D E F$ 的体积的最大值为16 D、若 $P$ 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $P E + P F$ 的取值范围 $[2 + 2 \sqrt{5} ， 4 \sqrt{3}]$

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12. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图（单位： $c m$ ）所示，四边形 $A F E D$ 为矩形， $A B ， C D ， F E$ 均与圆 $O$ 相切， $B ､ C$ 为切点，零件的截面 $B C$ 段为圆 $O$ 的一段弧，已知 $t a n α = \frac{4}{3} ， t a n β = \frac{3}{4}$ ，则该零件的截面的周长为（）cm（结果保留 $π$ ）

A、 $84 + 6 π$ B、 $80 + 5 π$ C、 $75 + 5 π$ D、 $82 + 6 π$

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二、填空题

13. ${(x - \frac{1}{7 x})}^{7}$ 的展开式的第 $2$ 项为．

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14. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 ， | \vec{b} | = 2 ， \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |} - \frac{\vec{b}}{| \vec{b} |} = (\frac{3}{5} ， \frac{4}{5})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ ．

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15. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 且倾斜角为 $6 0^{∘}$ 的直线与双曲线右支交于 $A ， B$ 两点，若 $△ A B F_{1}$ 为等腰三角形，则该双曲线的离心率为．

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16. 已知正实数 $x ， y$ 满足 $e^{x} = y l n x + y l n y$ ，则 $l n y - \frac{l n x + 1}{x}$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $S_{n} = 2^{n + 1} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{2^{n + 1}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ， $T_{n}$ 是 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < \frac{4}{3}$ ．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $A D = 2 A B = 4 ， ∠ B A D = \frac{π}{3} ， P$ 为 $A D$ 的中点， $△ B C P$ 为等边三角形，直线 $A C$ 与平面 $A B E D$ 所成角大小为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $P E ⊥$ 平面 $B C P$ ；

(2)、求平面 $E C P$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值.

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19. 某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为 $p (0 < p < \frac{1}{10})$ ，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．

(1)、若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且 $7500 < E (X) < 10000$ ，求p的取值范围；

(2)、已知 $p = \frac{1}{20}$ ，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 过直线 $l ： x = 2$ 上一点 $P$ 作椭圆的切线，切点为 $A$ ，当 $P$ 点在 $x$ 轴上时，切线 $P A$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，求 $△ P O A$ 面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{s i n x}{e^{π}} - \frac{a}{e^{x}}$

(1)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[- π ， 0]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = 1$ ，判断关于 $x$ 的方程 $f (x) = - \frac{1}{e^{π}}$ 在 $[(2 k + 1) π ， (2 k + 2) π] (k \in N^{*})$ 内解的个数，并说明理由．

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22. 极坐标系中曲线 $T$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{c o s θ}{s i n^{2} θ}$ ，以极点为原点，极轴为 $x$ 轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线 $l_{1} ， l_{2}$ 均过点 $F (1 ， 0)$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为 $α (0 < α < \frac{π}{2})$ ．

(1)、写出曲线 $T$ 的直角坐标方程；写出 $l_{1} ， l_{2}$ 的参数方程；

(2)、设直线 $l_{1} ， l_{2}$ 分别与曲线 $T$ 交于点 $A ， B$ 和 $C ， D$ ，线段 $A B$ 和 $C D$ 的中点分别为 $M ， N$ ，求 $| M N |$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 2 | + | 2 x - 3 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 6$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最小值为m，正实数a，b满足 $a^{2} + \frac{b^{2}}{9} = m$ ，证明： $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} \geq \frac{4 \sqrt{7}}{7}$ .

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