河南省焦作市2022-2023学年高三理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} + x - 6 < 0} ， B = {y ∣ y = \sqrt{x + 1}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 2)$ B、 $[0 ， 2)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $[0 ， 3)$

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2. 设 $(1 + i) z = 3 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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3. 设 $a = l o g_{5} 3 ， b = e^{- 1} ， c = l o g_{16} 9 \cdot l o g_{27} 8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ C、 $\sqrt{2} π$ D、 $2 \sqrt{2} π$

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5. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $k$ 的值是（）

A、7 B、8 C、9 D、11

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6. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x - \frac{π}{6})$ ，则 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 0]$ 上（）

A、单调递增 B、单调递减 C、先增后减 D、先减后增

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7. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比的平方不为 $1 ， b_{n} \in N^{*}$ ，则“ ${a_{b_{n}}}$ 是等比数列”是“ ${b_{n}}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) = 1$ ，则 $y = f (x)$ 的图象不可能为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是边 $A B ， A D$ 上的点， $3 A E = 2 B E$ ， $∠ E C F = \frac{π}{4}$ ，则（）

A、 $A D = \frac{3}{2} D F$ B、 $A D = 2 D F$ C、 $A D = 3 D F$ D、 $A D = 4 D F$

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10. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $3 \sqrt{3}$ ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）

A、 $12 π$ B、 $6 π$ C、 $16 π$ D、 $8 π$

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11. 存在函数 $f (x)$ 满足对任意 $x \in R$ ，都有 $f (g (x)) = x$ ，给出下列四个函数：① $g (x) = c o s x$ ， ② $g (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} ， x \geq 0 \\ x^{2} ， x < 0 \end{array}$ ， ③ $g (x) = x^{3} - x$ ， ④ $g (x) = e^{x} - e^{- x}$ ．所以函数 $g (x)$ 不可能为（）

A、①③ B、①② C、①③④ D、①②④

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12. 设双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ， $M (0 ， 3 b)$ ，若直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $F$ 为 $△ M A B$ 的重心，则直线 $l$ 斜率的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{13}}{3} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$ B、 $(\frac{2 \sqrt{13}}{9} ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + \infty)$ C、 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{9})$ D、 $(- ∞ ， - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{13}}{3})$

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c} = \vec{0}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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14. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a c o s (B - C) + a c o s A = 2 \sqrt{3} c s i n B c o s A$ ， $b^{2} + c^{2} - a^{2} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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15. 现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有一个班没有分到三好学生名额的概率为.

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16. 在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $M$ 为 $S C$ 的中点，过 $A M$ 作截面将该四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为 $V_{1} ， V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ 的最大值是.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + ⋯ + (2 n - 1) a_{n} = n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{1}{19 a_{n}} ， n 为奇数， \\ a_{n} a_{n + 2} ， n 为偶数， \end{array}$ 数列 ${c_{n}}$ 的前20项和.

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18. 某学校食堂中午和晚上都会提供 $A ， B$ 两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择 $A$ 类套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，选择 $B$ 类套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ；在中午选择 $A$ 类套餐的前提下，晚上还选择 $A$ 类套餐的概率为 $\frac{1}{4}$ ，选择 $B$ 类套餐的概率为 $\frac{3}{4}$ ；在中午选择 $B$ 类套餐的前提下，晚上选择 $A$ 类套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ ，选择 $B$ 类套餐的概率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、若同学甲晚上选择 $A$ 类套餐，求同学甲中午也选择 $A$ 类套餐的概率；

(2)、记某宿舍的4名同学在晚上选择 $B$ 类套餐的人数为 $X$ ，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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19. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点， $F$ 为 $A B$ 上一点，且 $E F ⊥ A B$ .现将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ B^{'} E F$ ，如图2.

(1)、证明： $E F ⊥ A B^{'}$ .

(2)、已知二面角 $B^{'} - E F - A$ 为 $\frac{π}{3}$ ，在棱 $A C$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $B C$ 与平面 $B^{'} M F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，确定 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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20. 已知 $F$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，且 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上， $P F$ 垂直于 $x$ 轴.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程.

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ （异于点 $P$ ）两点， $D$ 为直线 $l$ 上一点.设直线 $P A ， P D ， P B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ ，若 $k_{1} + k_{3} = 2 k_{2}$ ，证明：点 $D$ 的横坐标为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - b x - c (0 < a ⟨ 1 ， b ⟩ 0)$ .

(1)、若 $a = b$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，且 $x_{1} > x_{2}$ ，证明： $\frac{e^{x_{1}}}{a} + \frac{e^{x_{2}}}{1 - a} > \frac{4 b}{a}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \sqrt{2} c o s θ + 2 \\ y = \sqrt{2} s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数），直线 $l$ 过原点，且倾斜角为 $α$ ．以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、已知曲线 $C$ 与直线 $l$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| O A | + | O B | = 3$ ，求直线 $l$ 的直角坐标方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | x |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 2 x - 1$ 的解集；

(2)、已知函数 $g (x) = 2 f (x) + | 2 x - 1 |$ 的最小值为 $m$ ，且 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 都是正数， $a + 2 b + c = m$ ，证明： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} \geq 4$ ．

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