河南省2023届普通高中毕业班理数高考适应性考试试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，集合 $M = {1 ， 3 ， 6}$ ， $N = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $∁_{U} (M ∪ N) =$ （）

A、 ${5}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $m$ ， $n$ 为实数， $1 - i$ （i为虚数单位）是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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3. 设数列 ${a_{n}}$ 为正项等差数列，且其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2023} = 2023$ ，则下列判断错误的是（）

A、 $a_{1012} = 1$ B、 $a_{1013} \geq 1$ C、 $S_{2022} > 2022$ D、 $S_{2024} \geq 2024$

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4. 已知 $A B C D$ 为正方形，其内切圆 $I$ 与各边分别切于 $E ， F ， G ， H$ ，连接 $E F ， F G ， G H ， H E$ ，现向正方形 $A B C D$ 内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A：豆子落在圆 $I$ 内；事件B：豆子落在四边形 $E F G H$ 外，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $1 - \frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $1 - \frac{2}{π}$ D、 $\frac{2}{π}$

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5. 已知 $D$ ， $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且满足 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ． $F$ 为直线 $D E$ 与直线 $B C$ 的交点．若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ （ $λ$ ， $μ$ 为实数），则 $μ - λ$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} ω x + \sqrt{3} s i n 2 ω x - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，把函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 的图象上距离原点最近的对称中心为（）

A、 $(- \frac{π}{24} ， 0)$ B、 $(\frac{π}{24} ， 0)$ C、 $(- \frac{π}{48} ， 0)$ D、 $(\frac{π}{48} ， 0)$

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7. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是双曲线 $C$ 的一条渐近线上的点，且线段 $P F_{1}$ 的中点 $M$ 在另一条渐近线上．若 $∠ P F_{2} F_{1} = 45 °$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是棱 $B_{1} B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则过线段 $B D$ 且垂直于平面 $A_{1} E F$ 的截面图形为（）

A、等腰梯形 B、三角形 C、正方形 D、矩形

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9. 某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育.为了更好地增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼.锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为 $f (t) = k e^{t}$ ，其中 $t$ 为运动后心率（单位：次/分）与正常时心率的比值， $k$ 为每个个体的体质健康系数.若 $f (t)$ 介于 $[28 ， 34]$ 之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量.已知某同学正常时心率为80，体质健康系数 $k = 7$ ，经过俯卧撑后心率 $y$ （单位：次/分）满足 $y = 80 (l n \sqrt{\frac{x}{12}} + 1)$ ， $x$ 为俯卧撑个数.已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为（）（ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.718$ ）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ ．若 $x - y - 3 = 0$ ，则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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11. 实数x，y，z分别满足 $x^{2022} = e$ ， $202 2^{y} = 2023$ ， $2022 z = 2023$ ，则x，y，z的大小关系为（）

A、 $x > y > z$ B、 $x > z > y$ C、 $z > x > y$ D、 $y > x > z$

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12. 如图，直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，垂足为 $O$ ，正四面体 $A B C D$ （所有棱长都相等的三棱锥）的棱长为2， $C$ 在平面 $α$ 内， $B$ 是直线 $l$ 上的动点，当 $O$ 到 $A D$ 的距离最大时，该正四面体在平面 $α$ 上的射影面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点到准线的距离等于.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + x + 1 ， x \geq 0 \\ 2 x + 1 ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (m) < f (2 - m^{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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15. 安排 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五名志愿者到甲，乙两个福利院做服务工作，每个福利院至少安排一名志愿者，则 $A$ ， $B$ 被安排在不同的福利院的概率为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = - a_{n}^{2} + a_{n} + c (n \in N *)$ ．若数列 ${a_{n}}$ 为单调递增数列，则实数 $c$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，在① $a s i n C - c c o s (A - \frac{π}{6}) = 0$ ；② $2 c c o s A = a c o s B + b c o s A$ ；③ $b s i n B + c s i n C - a s i n A - b s i n C = 0$ 中任选一个作为条件解答下面两个问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知 $b = 6$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求 $a$ 的值．

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18. 如图，在三棱柱 $A D F - B C E$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 120 °$ ， $A F = \sqrt{3}$ ， $A D = 2 D F = 2$ ， $P$ ， $Q$ 分别为 $A D$ ， $B E$ 的中点，且平面 $A D F ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $D F ⊥ P Q$ ；

(2)、求直线 $P Q$ 与平面 $B D F$ 所成角的正弦值．

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19. 某学校筹备成立足球社团，由于报名人数太多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取.规则如下：每人最多有四次机会，只要连续踢进2个点球，则停止踢球并予以录取；若已经确定不能连续踢进2个点球，则停止踢球且不予录取.下表是某同学六次训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.
点球数
20
30
30
25
20
25
进球数
15
17
22
18
14
14

(1)、求该同学被录取的概率；

(2)、若该同学要进行“点球测试”，记他在测试中进球的个数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的期望.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F (1 ， 0)$ ，点 $M (\frac{\sqrt{6}}{2} ， \frac{1}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点．若 $\vec{P A} = λ \vec{P B}$ ， $\vec{A Q} = λ \vec{Q B} (λ > 0)$ ，求 $| \vec{O Q} |$ 的最小值（ $O$ 是坐标原点）．

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21. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a x^{3}}{e^{x}} (a \neq 0)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上的单调性；

(2)、若不等式 $2 e^{x} f (x) \geq x^{3} l n x + x^{2} + 3 x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ \\ y = \sqrt{2} s i n φ \end{array}$ （其中 $φ$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ c o s^{2} θ + 4 c o s θ - ρ = 0$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、射线 $l$ ： $θ = α$ 与曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别交于点A，B（均异于极点），当 $\frac{π}{4} \leq α \leq \frac{π}{3}$ 时，求 $\frac{| O B |}{| O A |}$ 的最小值.

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23. 已知正实数a，b，c满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ .

(1)、求 $a + 4 b + 9 c$ 的最小值；

(2)、证明： $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{a + c}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq 2 \sqrt{a b c}$ .

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点球数	20	30	30	25	20	25
进球数	15	17	22	18	14	14