河北省唐山市2023届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 2^{x} > 1}$ ， $B = {x | \sqrt{x} \leq 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $(0 ， 16]$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $(1 ， 16]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = | 1 + i |$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、i B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 下表是足球世界杯连续八届的进球总数：
年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
进球总数
141
171
161
147
145
171
169
172
则进球总数的第40百分位数是（）

A、147 B、154 C、161 D、165

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4. 将英文单词“ $r a b b i t$ ”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有（）

A、120种 B、240种 C、480种 D、960种

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5. $1 + t a n 22.5 ° =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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6. 在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A_{1}^{} B_{1}^{} C_{1}^{} D_{1}^{}$ 是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线 $A A_{1}$ 与直线 $B B_{1}$ 的交点为 $P$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{64 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $8 π$ D、 $32 π$

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7. 已知点 $P (0 ， 4)$ ，圆 $M ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 16$ ，过点 $N (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、12 C、 $6 \sqrt{5}$ D、 $9 \sqrt{2}$

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8. 已知函数 $f (2 x + 1)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (2 x + 1)$ 的一个周期为2，则（）

A、1为 $f (x)$ 的周期 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2} ， 0)$ 对称 C、 $f (2023) = 0$ D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + k$ ，（ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）在一个周期内的图象如图所示，则（）

A、 $A = 4$ B、 $ω = 2$ C、 $φ = \frac{π}{3}$ D、 $k = 1$

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10. 在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是棱 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $D_{1} E ⊥ D F$ B、 $A D_{1} ∥$ 平面 $D E F$ C、平面 $B C_{1} D_{1}$ 与平面 $D E F$ 相交 D、点 $B$ 到平面 $D E F$ 的距离为 $\frac{4}{3}$

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11. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左焦点为 $F$ ， $B$ 为 $E$ 的上顶点， $A$ ， $C$ 是 $E$ 上两点．若 $| F A |$ ， $| F B |$ ， $| F C |$ 构成以 $d$ 为公差的等差数列，则（）

A、 $d$ 的最大值是 $\sqrt{2}$ B、当 $d = 1$ 时， $s i n ∠ A F C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、当 $A$ ， $C$ 在 $x$ 轴的同侧时， $S_{△ A F C}$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ D、当 $A$ ， $C$ 在 $x$ 轴的异侧时（ $A$ ， $C$ 与 $B$ 不重合）， $k_{A B} \cdot k_{B C} = - 2$

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12. 已知 $a b \neq 0$ ，函数 $f (x) = e^{a x} + x^{2} + b x$ ，则（）

A、对任意 $a$ ， $b$ ， $f (x)$ 存在唯一极值点 B、对任意 $a$ ， $b$ ，曲线 $y = f (x)$ 过原点的切线有两条 C、当 $a + b = - 2$ 时， $f (x)$ 存在零点 D、当 $a + b > 0$ 时， $f (| x |)$ 的最小值为1

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三、填空题

13. 已知 $S_{n}$ 是等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} = 1$ ， $2 S_{3} = 7 a_{2}$ ，则 $S_{5} =$ ．

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14. 某种食盐的袋装质量 $X$ 服从正态分布 $N (400 ， 16)$ ，随机抽取10000袋，则袋装质量在区间 $(396 ， 408)$ 的约有袋．（质量单位：g）
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + b + 3$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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16. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，经过 $F$ 的直线 $l$ ， $l$ 与 $C$ 的对称轴不垂直， $l$ 交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，点 $M$ 在 $C$ 的准线上，若 $△ A B M$ 为等腰直角三角形，则 $| A B | =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} + S_{n + 1} = S_{n} + {(- 1)}^{n + 1} \cdot n$ ．

(1)、求 $S_{2 n}$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{S_{2 n}}$ ，证明： $n ∈ N^{∗}$ ， $b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n} < 2$ ．

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18. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A_{1} B_{1} B A$ 和侧面 $A_{1} A C C_{1}$ 均为正方形， $D$ 为棱 $B C$ 的中点．

(1)、证明：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、若直线 $A C_{1}$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 所成角为30°，求平面 $A_{1} B_{1} B A$ 与平面 $A D C_{1}$ 夹角的余弦值．

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19. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ A D$ ， $A C = A D = 7$ ， $A B = 3$ ．

(1)、若 $D B = 8$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $∠ B A C = ∠ A D B$ ，求 $B D$ ．

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20. 为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员 $M$ 都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{2}{5}$ ，且每场比赛中犯规4次以上的概率为 $\frac{1}{4}$ ．

(1)、求甲队第二场比赛获胜的概率；

(2)、用 $X$ 表示比赛结束时比赛场数，求 $X$ 的期望；

(3)、已知球员 $M$ 在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．

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21. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 过点 $P (2 ， 2)$ ，且 $P$ 与 $E$ 的两个顶点连线的斜率之和为4．

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过点 $M (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点（异于点 $P$ ）．设直线 $B C$ 与 $x$ 轴垂直且交直线 $A P$ 于点 $C$ ，若线段 $B C$ 的中点为 $N$ ，证明：直线 $M N$ 的斜率为定值，并求该定值．

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22. 已知 $x > - 1$ ，证明：

(1)、 $e^{x} - 1 \geq x \geq l n (x + 1)$ ；

(2)、 $(e^{x} - 1) l n (x + 1) \geq x^{2}$ ．

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年份	1994	1998	2002	2006	2010	2014	2018	2022
进球总数	141	171	161	147	145	171	169	172