河北省邯郸市2023届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2023-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ， $B = {x | y = l n (x + 1)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 4)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(0 ， 4)$

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2. 已知复数z是方程 $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ 的一个根，且复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，“ $a_{2} + a_{5} = a_{3} + a_{m}$ ”是“ $m = 4$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则 $\frac{2}{a + 1} + \frac{8}{b + 1}$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、9

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5. 已知函数 $f (x - 1)$ 为偶函数，且函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， + \infty)$ 上单调递增，则关于x的不等式 $f (1 - 2^{x}) < f (- 7)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 2)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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6. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，一条平行于x轴的光线，经过点 $A (3 ， 1)$ ，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若 $| A B | + | B F | = 5$ ，则抛物线C的准线方程是（）

A、 $x = - 4$ B、 $x = - 2$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - \frac{1}{2}$

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7. 某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（）

A、21种 B、30种 C、42种 D、60种

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8. 已知 $a = \frac{3}{301}$ ， $b = \frac{2}{201}$ ， $c = l n \frac{101}{100}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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二、多选题

9. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(2 ， - 4)$ B、 $(- 2 ， - 4)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(2 ， 4)$

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10. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} (x + 6) + l o g_{2} (4 - x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域是 $(- 6 ， 4)$ B、 $f (x)$ 有最大值 C、不等式 $f (x) < 4$ 的解集是 $(- \infty ， - 4) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 4]$ 上单调递增

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线l，切点为M，且直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，则下列结论正确的是（）

A、若 $a = 3$ ， $b = 4$ ，则 $| B F_{1} | + | B F_{2} | = 26$ B、若 $B F_{2} ⊥ B F_{1}$ ，则双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ C、若 $| M B | = 2 | M F_{1} |$ ，则双曲线C的离心率是 $\sqrt{13}$ D、若M是 $B F_{1}$ 的中点，则双曲线C的离心率是 $\sqrt{5}$

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12. 在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，P在棱BC上（不包括端点），则下列判断正确的是（）

A、存在点P，使得AP⊥平面 $D D_{1} E$ B、存在点P，使得三棱锥 $P - D D_{1} E$ 的体积为45 C、存在点P，使得点P到DE的距离为5 D、当P为BC的中点时，三棱锥 $P - D D_{1} E$ 外接球的表面积为86π

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三、填空题

13. 身体质量指数，也就是BMI指数，简称体质指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准．某校为了解该校学生的身体健康情况，从某班随机抽取20名学生进行调查，得到这20名学生的BMI指数分别是15，15.3，15.6，15.9，16.2，16.6，17.5，17.8，18.2，18.7，19.3，19.5，20.3，21.1，21.5，22.7，22.9，23.1，23.4，23.5，则这组数据的第65百分位数是．

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14. 在正四棱锥P－ABCD中， $P A = A B$ ，点E，F满足 $\vec{P D} = 3 \vec{P E}$ ， $\vec{D P} = 3 \vec{D F}$ ，则异面直线BE与CF所成角的余弦值为．

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15. 已知点 $A (0 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ ，符合点A，B到直线l的距离分别为1，3的直线方程为（写出一条即可）．

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16. 在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 为边 $A B$ 的中点， $G ， F$ 分别为边 $A D ， B C$ 上的动点，且 $∠ F E G = \frac{2 π}{3}$ ，则 $G E + E F$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + l o g_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n 2 ω x - 2 c o s^{2} ω x + 2 (ω \in N_{+})$ 在 $(π ， \frac{4 π}{3})$ 上单调．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $a = 3$ ， $f (\frac{A}{2}) = 2$ ，求△ABC周长的最大值．

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19. 如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点， $A D = 2 B C = 2 E F = 4$ ．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形 $A_{1} B_{1} F E$ 处，使得 $A_{1} C = 3$ ，如图2，G在 $A_{1} E$ 上，且 $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{A_{1} G}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C / /$ 平面DFG；

(2)、求平面DFG与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值

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20. 甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X．

(1)、求X的分布列；

(2)、求甲、乙两人最终平局的概率；

(3)、记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的离心率互为倒数，点 $A (2 ， 2)$ 在椭圆C上，不过点A的直线l与椭圆C交于P，Q两点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若直线AP，AQ的斜率之和为1，试问直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = s i n x - a x c o s x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处的切线方程；

(2)、对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (x) < a x^{2} + a x$ ，求a的取值范围．

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