备考2023年中考数学计算能力训练13 锐角三角函数

试卷更新日期：2023-04-09 类型：二轮复习

进入出卷网下载

一、单选题（每题2分，共20分）

1. $2 t a n 30 °$ 的值等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
2. $4 s i n^{2} 60 °$ 的值为（）

A、3 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
3. 已知 $t a n A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $∠ A$ 是锐角，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

查看试题解析
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（）

A、7sin 35° B、7cos 35° C、7tan 35° D、 $\frac{7}{\cos 35 °}$

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = 2$ ，则 $s i n A$ 的值为（　　）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

查看试题解析
6. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $s i n A = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s B$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
7. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C ＝ 90 ° ， A B ＝ 5 ， B C ＝ 3$ ，则 $c o s ∠ B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

查看试题解析
8. 在直角三角形ABC中， $∠ C = 90 ° ， A B = 4 ， B C = 2 \sqrt{3}$ ，则 $3 t a n \frac{A}{2}$ 的值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、3

查看试题解析
9. 下列运算中，值为 $\frac{1}{4}$ 的是（）．

A、 $s i n 45 ° \times c o s 45 °$ B、 $t a n 45 ° - c o s^{2} 30 °$ C、 $\frac{t a n 30 °}{c o s 60 °}$ D、 ${(t a n 60 °)}^{- 1}$

查看试题解析
10. 在△ABC中，若∠A，∠B满足|cosA- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |+（1-tanB）²=0，则∠C的大小是（）

A、45° B、60° C、75° D、105°

查看试题解析

二、填空题（每空2分，共12分）

11. 若 $0 ° < α < 45 °$ ，且 $s i n 2 α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $α =$ 度．

查看试题解析
12. 计算： $\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{\sqrt{3}} - 2^{- 1} + t a n^{2} 3 0^{°}$ ＝.

查看试题解析
13. $c o s^{2} 30 ° - (2 - π)^{0} =$ .

查看试题解析
14. 计算： $\frac{c o s 60 ° - s i n 60 °}{c o t 30 ° - t a n 45 °} =$

查看试题解析
15. 在△ABC中，如果 $\sqrt{s i n A - \frac{1}{2}} + {(t a n B - 1)}^{2} = 0$ ，则∠C=.

查看试题解析
16. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 2 ， A B = 6$ ，则 $t a n A =$ ．

查看试题解析

三、计算题（共11题，共52分）

17. 计算： ${(\sqrt{2} - 1)}^{0} + {(- 1)}^{2023} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - 2 s i n 30 °$ .

查看试题解析
18. 计算：4cos30°-| $\sqrt{3}$ -2|+（ $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ）⁰- $\sqrt{27}$ +（- $\frac{1}{3}$ ）^-² ．

查看试题解析
19. 计算： ${(- 2023)}^{0} - 3 t a n 30 ° - {(- \frac{1}{2})}^{- 1} + \sqrt{12}$

查看试题解析
20. 计算： ${(2023 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + | 1 - \sqrt{3} | - 2 s i n 60 °$ .

查看试题解析
21. 计算： $| - 2 | + {(2023 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 1} + 2 t a n 60 °$ .

查看试题解析
22. 计算： $\sqrt{18} + {(π - 2023)}^{0} - 6 c o s 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$

查看试题解析
23. 计算 $2 c o s^{2} 4 5^{∘} - \sqrt{{(t a n 6 0^{∘} - 2)}^{2}} - {(s i n 6 0^{∘} - 1)}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ .

查看试题解析
24. 计算： $2 c o s 60 ° - \sqrt{2} s i n 45 °$ .

查看试题解析
25. $3 c o s 30 ° - t a n 60 ° + 2 s i n 30 ° - s i n^{2} 45 °$ .

查看试题解析
26.

(1)、计算： $8 s i n^{2} 60 ° + t a n 45 ° - 4 c o s 30 °$ ；

(2)、解方程： $x (2 x - 5) = 4 x - 10$

查看试题解析
27. 计算下列各题：

(1)、 $s i n^{2} 45 ° - \sqrt{27} + \frac{1}{2} (\sqrt{3} - 2006)^{0} + 6 t a n 30 °$

(2)、 $s i n^{2} 30 ° - c o s 45 ° \cdot t a n 60 ° + \frac{s i n 60 °}{c o s 3 0^{∘}} - t a n 45 °$ .

查看试题解析

四、解答题（共10题，共66分）

28. 先化简，再求值： $\frac{x}{x^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{x + 1})$ ，其中 $x = \sqrt{2} s i n 45 ° + 2 t a n 60 °$ .

查看试题解析
29. 先化简，再求代数式 $\frac{a + 3}{a^{2} + 4 a + 4} \div (1 + \frac{1}{a + 2})$ 的值，其中 $a = 2 c o s 30 ° - 2 t a n 45 °$ ．

查看试题解析
30. 先化简，再求值： $(a - \frac{a^{2}}{a + 1}) ÷ \frac{a^{2}}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2 s i n 60 ° + t a n 45 °$ .

查看试题解析
31. 先化简，再求代数式 $\frac{x - 4}{x^{2} - 9} \div (1 - \frac{1}{x - 3})$ 的值，其中 $x = 2 s i n 45 ° - \sqrt{3} t a n 60 °$ ．

查看试题解析
32. 先化简，再求代数式 $\frac{a - 3}{2 a - 4} \div (\frac{5}{a - 2} - a - 2)$ 的值，其中 $a = t a n 60 ° - 6 s i n 30 °$ ．

查看试题解析
33. 先化简，再求值： $\frac{x - y}{x + 2 y} \div \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 4 x y + 4 y^{2}} - 1$ ，其中 $x = t a n 60 ° + 1$ ， $y = 2 c o s 30 ° - 1$ ．

查看试题解析
34. 计算：

(1)、 $\sqrt{(1 - t a n 60 °)^{2}} - 4 c o s 30 ° + 202 2^{0}$

(2)、已知 $α$ 为锐角， $s i n (α + 15 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，计算 $\sqrt{8} - 4 c o s α + t a n α + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ 的值．

查看试题解析
35. 计算：

(1)、（﹣4）²×（﹣ $\frac{1}{2}$ ）³﹣（﹣4+1）；

(2)、sin²45°+tan60°×cos30°；

(3)、（1﹣ $\frac{m}{m + 3}$ ）÷ $\frac{m^{2} - 9}{m^{2} + 6 m + 9}$ ；

(4)、在△ABC中，若|sinA﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ |+（ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ﹣cosB）²＝0，∠B，∠A都是锐角，求∠C的度数．

查看试题解析
36. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， ∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，利用锐角三角函数定义很容易推导出一些关系式，如 $s i n^{2} A + c o s^{2} A = 1$ ， $s i n A = c o s B$ 等，这些公式在三角函数式子的变形中运用比较广泛．设 $α$ ， $β$ 是锐角，定义：当 $α > β$ 时，两角和的余弦公式： $c o s (α + β) = c o s α c o s β - s i n α s i n β$ ．
例：计算 $c o s 75 °$ 的值．
$c o s 75 ° = c o s (45 ° + 30 °) = c o s 45 ° c o s 30 ° - s i n 45 ° s i n 30 °$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}$ $= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$ $= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ，
两角差的余弦公式： $c o s (α - β) = c o s α c o s β + s i n α s i n β$ ．利用类比的方法运用公式求解．

(1)、计算 $c o s 15 ° =$ ．

(2)、计算 $c o s 80 ° c o s 35 ° + s i n 80 ° s i n 35 °$ 的值；

(3)、一副斜边长均为16的三角板拼成如图所示的图形，求过A、B、C、D四点的矩形ABEF的面积．

查看试题解析
37. 【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：① $c o s (α + β) = c o s α c o s β - s i n α s i n β$ ；② $s i n (α + β) = s i n α c o s β + c o s α s i n β$ ；③ $t a n (α + β) = \frac{t a n α + t a n β}{1 - t a n α \cdot t a n β} (1 - t a n α \cdot t a n β \neq^{2} 0)$ .利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 $t a n 10 5^{°} = t a n (4 5^{°} + 6 0^{°}) = \frac{t a n 4 5^{°} + t a n 6 0^{°}}{1 - t a n 4 5^{°} \cdot t a n 6 0^{°}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \times \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2} = - (2 + \sqrt{3})$ .
【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：

(1)、求 $c o s 75 °$ 的值；

(2)、如图，一架直升机在一建筑物 $C D$ 上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角 $α$ 为 $60 °$ ，底端点C的俯角 $β$ 为 $75 °$ ，此时直升机与建筑物 $C D$ 的水平距离 $B C$ 为 $42 m$ ，求建筑物 $C D$ 的高；

(3)、疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点A处往正东方向飞多远，居民在点D处看飞机的仰角恰好是 $30 °$ .

查看试题解析