备考2023年中考数学计算能力训练10 解一元二次方程

试卷更新日期：2023-04-09 类型：二轮复习

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一、单选题（每题2分，共20分）

1. 方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的根为（）

A、2 B、根号2 C、 $\pm$ 2 D、 $\pm$ 根号2

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2. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 99 = 0$ 变形正确的是（）

A、 $(x + 1)^{2} = 100$ B、 $(x - 1)^{2} = 100$ C、 $(x + 2)^{2} = 100$ D、 $(x - 2)^{2} = 100$

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3. 若 $x = - 2$ 是一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（）

A、0，-2 B、0，0 C、-2，-2 D、-2，0

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4. 若实数x，y满足 $(x + y) (x + y - 1) = 2$ ，则 $x + y$ 的值为（）

A、－1 B、2 C、－1或2 D、－2或1

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5. 已知关于x的方程(2x-m)(mx＋1)＝(3x＋1)(mx-1)有一个根是0，则它的另一个根和m的值分别是（）

A、3和1 B、2和3 C、3和4 D、4和1

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6. 关于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（）

两边同时除以（x﹣1）得，x＝3

整理得，x²﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，

b²﹣4ac＝28

∴x＝ $\frac{4 \pm \sqrt{28}}{2}$ ＝2± $\sqrt{7}$

整理得，x²﹣4x＝﹣3配方得，x²﹣4x+2＝﹣1

∴（x﹣2）²＝﹣1

∴x﹣2＝±1

∴x₁＝1，x₂＝3

移项得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0

∴x₁＝1，x₂＝3

A、A B、B C、C D、D

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7. 将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} ﹣ p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将 $x^{2}$ 表示为关于 $x$ 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x ﹣ q) =$ …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，且 $x > 0$ ，则 $x^{3} + 1$ 的值为（）

A、 $1 + \sqrt{5}$ B、 $1 - \sqrt{5}$ C、 $3 ﹣ \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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8. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} + x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $\sqrt{k + 1} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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9. 已知 $x_{1} 、 x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值等于（）

A、 $- 6$ B、6 C、10 D、 $- 10$

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10. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、-1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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二、填空题（每空2分，共20分）

11. 设 $m$ ， $n$ 是方程 $x^{2} + x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + 2 m + n + m n$ 的值为．

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12. 用配方法解方程x²﹣2x﹣5＝0时，将原方程变形为（x﹣a）²＝b的形式为．

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13. 已知关于x的一元二次方程x²-4mx+3m²=0，若m＞0，且该方程较大的实数根为1，则m的值为．

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14. 对于任意实数 $a$ 、 $b$ ，定义一种运算： $a \otimes b = a^{2} + 2 b$ ，若 $x \otimes (x - 1) = - 3$ ，则 $x$ 的值为.

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15. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} - 3 = 0$ 的两个实数根.若 $x_{1}^{2} + {x_{2}}^{2} - x_{1} x_{2} = 33$ ，则 $m =$ .

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16. 小丽在解一个三次方程x³－2x＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x－1)(x²＋bx＋c)＝0.根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解.

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17. 已知关于x的方程x²－2x＋2k－1＝0的两根分别是x₁、x₂ ，且 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} =$ x₁·x₂ ，则k的值是．

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18. 商家通常依据“利好系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b>a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c=a+k（b-a），这里的k被称为利好系数．经验表明，最佳利好系数k恰好使得 $\frac{b - a}{c - a} = \frac{3 c - 3 a}{b - c}$ ，据此可得，最佳利好系数k的值等于．

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19. 有四张正面分别标有数字﹣4，﹣3，﹣2，1，的不透明卡片，它们除数字不同外其他全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a，放回后洗匀，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则a，b使得二次函数y＝x²﹣（a+5）x+3当x≤1时y随x的增大而减小，且一元二次方程（a+2）x²+bx+1＝0有解的概率为．

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20. 已知关于x的方程 $| x^{2} + 2 p x - 3 p^{2} + 5 | - q = 0$ ，其中p、q都是实数.若方程有三个不同的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，且 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} = 0$ ，则q的值为.

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三、计算题（共8题，共48分）

21. 用适当的方法解下列一元二次方程：

(1)、 $x^{2} = 3 x$ .

(2)、 $2 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ .

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22. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ .

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23. 用适当的方法解下列方程

(1)、 $x^{2} - 2 x = 2 x + 1$ ；

(2)、 $x (2 x + 3) = 2 x + 3$ .

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24. 解方程

(1)、 ${(2 x - 1)}^{2} = {(2 - 3 x)}^{2}$

(2)、 $2 x^{2} - x - 3 = 0$

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25. 解方程

(1)、 $\frac{x}{x - 1} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 1$

(2)、x²＋4x－1＝0

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26. 解方程：

(1)、 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ；

(2)、 $\frac{2}{x - 3} + \frac{3}{x + 3} = \frac{6}{x^{2} - 9}$ .

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27. 解下列方程：

(1)、（2x+1）（x﹣3）＝0；

(2)、 $x^{2} - 4 \sqrt{2} x + 8 = 0$ .

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28. 解方程：

(1)、 $x^{2} - \sqrt{2} x - 4 = 0$ （公式法）

(2)、 $2 x (x - 1) = 3 x - 3$

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四、解答题（共10题，共62分）

29. 已知方程 $2 x - 1 = 3$ 的解为k，请用配方法解关于x的方程 $x^{2} + k x - 3 = 0$ ．

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30. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 4 x + k ＝ 0$ 有两个相等的实数根，求k的值与方程的根.

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31. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - x + 2 m = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} x_{2} > - 1$ ，求实数m的取值范围．

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32. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $3 x^{2} + 2 x - 6 = 0$ 的两个根，求 $\frac{3}{x_{1}} + \frac{3}{x_{2}}$ 的值．

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33. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + (2 k + 1) x + k^{2} + 1 = 0$ 有两个不等实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $x_{1} x_{2} = 5$ ，求k的值.

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34. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m = 0$ .

(1)、判断这个一元二次方程的根的情况.

(2)、若等腰三角形的一边长为3，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长.

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35. 已知x₁、x₂是关于x的方程x²+2x+2k﹣4＝0两个实数根，并且x₁≠x₂ ．

(1)、求实数k的取值范围；

(2)、若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值；

(3)、若|x₁﹣x₂|＝6，求 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + 3 x_{1} x_{2} - 5$ 的值.

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36. 阅读下面的例题.
解方程： $x^{2} - | x | - 1 = 0$ .

解：（1）当 $x \geq 0$ 时，原方程化为 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，解得 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 1$ （不合题意，舍去）.

（2）当 $x < 0$ 时，原方程化为 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，解得 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 1$ （不合题意，舍去）.

∴原方程的解是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 2$ .

请参照上述方法解方程 $x^{2} - | x - 1 | - 1 = 0$ .

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37. 阅读材料，解答问题：
材料1

为了解方程 ${(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} + 36 = 0$ ，如果我们把 $x^{2}$ 看作一个整体，然后设 $y = x^{2}$ ，则原方程可化为 $y^{2} - 13 y + 36 = 0$ ，经过运算，原方程的解为 $x_{1 ， 2} = \pm 2$ ， $x_{3 ， 4} = \pm 3$ ．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．

材料2

已知实数m，n满足 $m^{2} - m - 1 = 0$ ， $n^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，显然m，n是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，由书达定理可知 $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ．

根据上述材料，解决以下问题：

(1)、直接应用：
方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$ 的解为；

(2)、间接应用：
已知实数a，b满足： $2 a^{4} - 7 a^{2} + 1 = 0$ ， $2 b^{4} - 7 b^{2} + 1 = 0$ 且 $a \neq b$ ，求 $a^{4} + b^{4}$ 的值；

(3)、拓展应用：
已知实数m，n满足： $\frac{1}{m^{4}} + \frac{1}{m^{2}} = 7$ ， $n^{2} - n = 7$ 且 $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m^{4}} + n^{2}$ 的值．

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38. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如x²=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”.

(1)、根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有：（只填写序号即可）
① ${(x - 1)}^{2} = 9$ ②x²+4x+4=0 ③ $x^{2} + 2 x - 8 = 0$

(2)、关于x的一元二次方程x²-2x=0与x²+x+m-1=0为“同伴方程”，求m的值；

(3)、若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)同时满足a-b+c=0和9a+3b+c=0，且与
（x-n）（x+3）=0互为“同伴方程”，求n的值.

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