备考2023年中考数学计算能力训练6 二次根式的运算

试卷更新日期：2023-04-09 类型：二轮复习

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一、单选题（每题1分，共10分）

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$ B、 ${(- \sqrt{2})}^{2} = - 2$ C、 ${(2 \sqrt{3})}^{2} = 2 \times 3 = 6$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{5} = \sqrt{7}$ B、 $5 \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$

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3. 已知 $| a - 5 | + \sqrt{b + 2} = 0$ ，则 $a^{b} =$ （）

A、 $\frac{1}{25}$ B、25 C、32 D、 $- 32$

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4. 下列方程中，有实数解的是（）

A、 $\sqrt{x - 1} + \sqrt{x + 4}$ ＝0 B、 $\sqrt{x^{2} + 5} + \sqrt{x^{2} - 1}$ ＝1 C、 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4}$ ＝3 D、 $\sqrt{7 - 2 x} = 3 - \sqrt{x - 4}$

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5. “分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如： $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 7 + 4 \sqrt{3}$ ；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简 $\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ ，可以先设 $x = \sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ ，再两边平方得 $x^{2} = (\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}})^{2} = 4 + \sqrt{7} + 4 - \sqrt{7} - 2 \sqrt{(4 + \sqrt{7}) (4 - \sqrt{7})} = 2$ ，又因为 $\sqrt{4 + \sqrt{7}} ＞ \sqrt{4 - \sqrt{7}}$ ，故x＞0，解得 $x = \sqrt{2}$ ， $\sqrt{4 + \sqrt{7}} - \sqrt{4 - \sqrt{7}} = \sqrt{2}$ ，根据以上方法，化简 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} + \sqrt{8 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}$ 的结果是（）

A、 $3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、3

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6. 估计 $(2 \sqrt{2} + \sqrt{3}) \times \sqrt{2}$ 的值应在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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7. 从“+，－，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“ $(- \sqrt{2} - 1) □ \sqrt{2}$ ”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（）

A、+ B、－ C、× D、÷

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8. 计算： $\frac{1}{3 + \sqrt{3}} + \frac{1}{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}} + \frac{1}{7 \sqrt{5} + 5 \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{81 \sqrt{79} + 79 \sqrt{81}}$ =（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9. 设 $M = \sqrt{202 1^{2} - 2020 \times 2022}$ ， $N = \sqrt{202 1^{2} - 4042 \times 2022 + 202 2^{2}}$ ，则 $M$ 与 $N$ 的关系为（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、 $M = \pm N$

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10. 已知max ${\sqrt{x} ， x^{2} ， x}$ 表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max ${\sqrt{x} ， x^{2} ， x} = \max {\sqrt{9} ， 9^{2} ， 9}$ ＝81.当max ${\sqrt{x} ， x^{2} ， x} = \frac{1}{2}$ 时，则x的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题（每空1分，共15分）

11. 直接写出下列二次根式化简后的结果：
$\sqrt{200}$ = ， $\sqrt{1 \frac{3}{4}}$ =

$\frac{2 - \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$ = ， $\frac{1}{\sqrt{3} - 2}$ =

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12. 已知 $\sqrt{x + 1} + \sqrt{y - 2} = 0$ ，则 $x + y =$ .

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13. 计算 $\sqrt{45}$ ÷3 $\sqrt{3}$ × $\sqrt{\frac{3}{5}}$ 的结果是．

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14. 计算： $\sqrt{20} - \sqrt{80} + 5 \sqrt{5}$ ＝．

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15. 记 $\frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ 的整数部分是 $a$ ，小数部分是 $b$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的值为.

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16. 已知 $\sqrt{15} = n$ ，那么 $\sqrt{0.15} + \sqrt{1500} =$ .（用含 $n$ 的代数式表示）

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17. 计算 $\sqrt{24} - \sqrt{\frac{6}{5}} \times \sqrt{45} = 2 \sqrt{P} + Q \sqrt{6} = M$ ．则 $P + Q =$ ， $M =$ ．

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18. 已知 $y = \sqrt{{(x - 4)}^{2}} - x + 5$ ，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应y值的总和是.

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19. 已知 $x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $y = 2 + \sqrt{3}$ ．则

(1)、 $x^{2} + y^{2} =$ ；

(2)、 $(x - y)^{2} - x y =$ ．

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20. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = 1 + \frac{1}{1 \times 2} = 1 + (1 - \frac{1}{2})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = 1 + \frac{1}{2 \times 3} = 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$ ，

$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = 1 + \frac{1}{3 \times 4} = 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})$ ，

……

请利用你发现的规律，计算：

$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots +$

$\sqrt{1 + \frac{1}{2020^{2}} + \frac{1}{2021^{2}}}$

其结果为

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三、计算题（共8题，共44分）

21. 计算： $- \sqrt{3} \times \sqrt{8} + | 2 - \sqrt{6} | - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ .

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22. 计算： $\sqrt{3} \times (- \sqrt{12}) + | \sqrt{3} - 2 | - {(- \frac{1}{4})}^{- 1}$ .

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23. 计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{6} + \frac{2}{\sqrt{3} - 1} - {(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}$ ．

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24. 计算： $(- 5 \sqrt{48} + \frac{\sqrt{27}}{3} + 8 \sqrt{12}) \div 2 \sqrt{3}$

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25. 计算：

(1)、 ${(- \sqrt{6})}^{2} - \sqrt{25} + \sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ；

(2)、 $\sqrt{45} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times (\sqrt{12} - \sqrt{15})$ ．

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26. 化简及计算∶

(1)、 $(\frac{1}{a} + 1) \div \frac{a^{2} - 1}{2 a}$

(2)、 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) - \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

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27. 计算：

(1)、 $2^{- 2} + \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) - (π - 2022))^{0} - \sqrt{\frac{1}{16}}$ ；

(2)、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{16}$ .

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28. 计算：cos²45°+ $\frac{\cos 30 °}{2 \sin 60 ° + 1} - \sqrt{3} \cdot \tan 30 °$ .

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四、解答题（共10题，共81分）

29. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简： $\sqrt{b^{2}} - | a - b | + \sqrt{{(c - a)}^{2}} - | c |$

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30. 已知a= $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ，b= $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

(1)、求ab，a+b的值；

(2)、求 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值．

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31. 已知 $m = 1 + \sqrt{2}$ ， $n = 1 - \sqrt{2}$ ，求代数式 $\sqrt{m^{2} + n^{2} - 3 m n}$ 的值.

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32. 先化简，再求值： $a \sqrt{\frac{b}{a}} - \frac{2}{b} \sqrt{a b^{3}} + 3 \sqrt{a b}$ ，其中b= $\sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a} + 3$ ．

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33. 已知2<m<3，化简： $\sqrt{4 - 4 m + m^{2}} - \sqrt{m^{2} - 6 m + 9}$ ．

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34. 已知p= $\sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{4})}^{2}} + ... + \sqrt{{(\sqrt{9} - \sqrt{10})}^{2}}$

(1)、求p的值；

(2)、求证：2< p<3．

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35. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m、n，是 $m^{2} + n^{2} = x$ 且 $m n = \sqrt{y}$ ，则把 $x \pm 2 \sqrt{y}$ 变成 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n = {(m \pm n)}^{2}$ ，开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简.

例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

解：∵ $3 + 2 \sqrt{2} = 1 + 2 + 2 \sqrt{2} = 1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \times 1 \times \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$

∴ $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{2})}^{2}} = 1 + \sqrt{2}$

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 $y' = {\begin{array}{l} y ， (x \geq 0) \\ - y ， (x < 0) \end{array}$ ，则称Q点为P点的“横负纵变点”.例如点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（ $- 2$ ，5）的“横负纵变点”为（ $- 2$ ， $- 5$ ）.

请选择合适的材料解决下面的问题：

(1)、点（ $\sqrt{2}$ ， $- \sqrt{3}$ ）的“横负纵变点”为；

(2)、化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}$ ；

(3)、已知a为常数（ $1 \leq a \leq 2$ ），点M（ $- \sqrt{2}$ ，m）且 $m = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}})$ ，点M'是点M的“横负纵变点”，求点M'的坐标.

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36. 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题，以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题.先阅读，再回答问题.

(1)、小青编的题，观察下列等式：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1$

$\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{2 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{5 - 3} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$

直接写出以下算式的结果：

$\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} =$ ； $\frac{2}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ （n为正整数）＝；

(2)、小明编的题，由二次根式的乘法可知：
${(\sqrt{3} + 1)}^{2} = 4 + 2 \sqrt{3}$ ， ${(\sqrt{5} + \sqrt{3})}^{2} = 8 + 2 \sqrt{15}$ ， ${(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} = a + b + 2 \sqrt{a b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$

再根据平方根的定义可得

$\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$ ， $\sqrt{8 + 2 \sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ， $\sqrt{a + b + 2 \sqrt{a b}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} (a \geq 0 ， b \geq 0)$

直接写出以下算式的结果：

$\sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} =$ ， $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} =$ ， $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} =$ ：

(3)、王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算：
$(\frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{9} + \sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{11} + \sqrt{9}}) \cdot \sqrt{12 + 2 \sqrt{11}}$

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37. 材料：如何将双重二次根式 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}} (a > 0$ ， $b > 0$ ， $a \pm 2 \sqrt{b} > 0)$ 化简呢？如能找到两个数 $m$ ， $n (m > 0 ， n > 0)$ ，使得 $(\sqrt{m})^{2} + (\sqrt{n})^{2} = a$ ，即 $m + n = a$ ，且使 $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{b}$ ，即 $m \cdot n = b$ ，那么 $a \pm 2 \sqrt{b} = (\sqrt{m})^{2} + (\sqrt{n})^{2} \pm 2 \sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = (\sqrt{m} \pm \sqrt{n})^{2}$ $∴$ $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}} = | \sqrt{m} \pm \sqrt{n} |$ ，双重二次根式得以化简.
例如化简： $\sqrt{3 \pm 2 \sqrt{2}}$ ，
因为 $3 = 1 + 2$ 且 $2 = 1 \times 2$ ，
$∴ 3 \pm 2 \sqrt{2} = (\sqrt{1})^{2} + (\sqrt{2})^{2} \pm 2 \sqrt{1} \times \sqrt{2} ∴ \sqrt{3 \pm 2 \sqrt{2}} = | 1 \pm \sqrt{2} |$ ，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 的形式，且能找到 $m$ ， $n (m > 0 ， n > 0)$ 使得 $m + n = a$ ，且 $m \cdot n = b$ ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式.
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

(1)、填空： $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}}$ = ， $\sqrt{12 \pm 2 \sqrt{35}}$ =；

(2)、化简： $\sqrt{9 \pm 6 \sqrt{2}}$ ；

(3)、计算： $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ + $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}$ .

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38. 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\sqrt{2}$ ＝（1+ $\sqrt{2}$ ）².设a+b $\sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ （其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b $\sqrt{2}$ ＝m²+2n²+2mn $\sqrt{2}$ ， ∴a＝m²+2n² ， b＝2mn.这样可以把部分a+b $\sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\sqrt{3}$ ＝（m+n $\sqrt{3}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝.

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ $\sqrt{5}$ ＝（+ $\sqrt{5}$ ）²；

(3)、化简 $\frac{1}{\sqrt{16 - 6 \sqrt{7}}} - \frac{1}{\sqrt{11 + 4 \sqrt{7}}}$

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