2023年中考数学复习考点一遍过——锐角三角函数

试卷更新日期：2023-04-09 类型：一轮复习

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一、单选题（每题3分，共30分）

1. $s i n 45 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ，则 $c o s B$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = 2$ ，则 $s i n A$ 的值为（　　）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已知 $t a n A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $∠ A$ 是锐角，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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5. 如图，在 $5 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $△ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 $t a n ∠ B A C$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 已知点 $A (1 ， 2)$ 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，射线 $O A$ 与x轴正半轴的夹角为α，那么 $c o s α$ 的值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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7. 小杰在一个高为 $h$ 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为 $30 °$ ，旗杆与地面接触点的俯角为 $60 °$ ，那么该旗杆的高度是（）

A、 $\frac{2}{3} h$ B、 $\frac{4}{5} h$ C、 $\frac{4}{3} h$ D、 $\frac{5}{4} h$

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8. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点M，则 $c o s$ ∠CDM等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，若 $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，且 $\frac{C D}{A D} = \frac{1}{3}$ ，则 $s i n ∠ D B C$ 的值为（）.

A、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10. 如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 $15 °$ 方向的A处，若渔船沿北偏西 $75 °$ 方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东 $60 °$ 方向上，则B、C之间的距离为（）

A、15海里 B、30海里 C、 $30 \sqrt{2}$ 海里 D、 $30 \sqrt{3}$ 海里

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二、填空题（每空3分，共15分）

11. 在△ABC中，如果 $\sqrt{s i n A - \frac{1}{2}} + {(t a n B - 1)}^{2} = 0$ ，则∠C=.

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12. 一个立方体木箱沿斜面下滑，木箱下滑至如图所示位置时，AB＝3m.已知木箱高BE＝2m，tan∠BAC＝0.5，则木箱端点E距地面AC高度为 m.

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $s i n B = \frac{3}{5}$ .D是边BC的中点，点E在AB边上，将 $△ B D E$ 沿直线DE翻折，使点B落在同一平面内点F处，线段FD交边AB于点G，若 $F D ⊥ A B$ 时，则 $\frac{A E}{B E} =$ .

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， A D = 10$ ，点E在 $D C$ 上，将矩形 $A B C D$ 沿 $A E$ 折叠，点D恰好落在 $B C$ 边上的点F处，则 $s i n ∠ E F C$ 的值为 .

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15. 河堤横断面如图所示，斜坡 $A B$ 的坡度 $i = 1 ： \sqrt{3}$ （即BC：AC）， $A B = 6 m$ ，则 $B C$ 的长是.

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三、解答题（共10题，共75分）

16. $Δ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ， $∠ B A C = 15 °$ ， $A C = 10 c m$ ，求 $B C$ 边的长度．

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17. 为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小伟同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼，该小区外围道路近似为如图所示的四边形ABCD，已知四边形ADCE是边长为150米的正方形（点E在边BC上）， $t a n B = \frac{3}{4}$ ，小伟同学每天沿四边形ABCD晨跑1圈，求小伟同学每天晨跑的总路程．

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18. 动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）

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19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动.如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）

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20. 菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长.（结果精确到0.1米.参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60 ， c o s 37 ° \approx 0.80 ， t a n 37 ° \approx 0 ， 75 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 为进一步加强疫情防控工作，长清区某学校决定安装红外线体温检测仪，对进入测温区域的人员进行快速测温（如图1），其红外线探测点 $O$ 可以在垂直于地面的支杆 $O P$ 上下调节（如图2），已知探测最大角（ $∠ O B C$ ）为 $61 °$ ，探测最小角（ $∠ O A C$ ）为 $37 °$ ．若该校要求测温区域的宽度 $A B$ 为 $1 ． 4$ 米，请你帮助学校确定该设备的安装高度 $O C$ ．
（参考数据： $s i n 61 ° \approx 0.87$ ， $c o s 61 ° \approx 0.48$ ， $t a n 61 ° \approx 1.8$ ， $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ $t a n 37 ° ° \approx 0.75$ ）

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22. 如图， $A B$ 是湘江段江北岸滨江路一段，长度为 $2 k m$ ， C为南岸一渡口.为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥， $C D ⊥ A B$ 垂足为点D.经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向.问：桥长 $C D$ 为多少 $k m$ ？（结果精确到0.01，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ .）

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23. 由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度.（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732，结果精确到0.1）

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24. 如图，小聪全家自驾到某风景区旅游，到达A景点后，导航显示沿北偏西 $60 °$ 方向行驶8千米到达B景点，在B景点查询C景点显示在北偏东 $45 °$ 方向上，到达C景点，小聪发现C景点恰好在A景点的正北方向，求B，C两景点的距离.

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25. 如图，小欢从公共汽车站 $A$ 出发，沿北偏东 $30 °$ 方向走 $2000$ 米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东 $45 °$ 方向的图书馆C处．

(1)、求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离；

(2)、如果小欢以 $100$ 米 $/$ 分的速度从图书馆C沿 $C A$ 回到公共汽车站A，那么她在 $15$ 分钟内能否到达公共汽车站？ $($ 注： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

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