备考2023年中考数学计算能力训练5 分式与分式方程的运算

试卷更新日期：2023-04-09 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 关于x的分式方程 $\frac{m}{x + 6} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、方程的解是x＝m－6 B、当m＜6时，方程的解是负数 C、当m＞6时，方程的解是正数 D、以上说法均不符合题意

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2. 分式方程 $\frac{100}{20 + x} = \frac{60}{20 - x}$ 的解是（）

A、 $x = - 20$ B、 $x = 5$ C、 $x = - 5$ D、 $x = 20$

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3. 若关于x的分式方程 $\frac{3 x}{x - 1} = \frac{m}{1 - x} + 2$ 的解为正数，则m的取值范围是（）

A、 $m > - 2$ B、 $m > - 2$ 且 $m \neq 1$ C、 $m < - 2$ D、 $m < - 2$ 且 $m \neq - 3$

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4. 若关于x的方程 $\frac{a x}{1 + x} - 1 = \frac{3}{x + 1}$ 的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是（）

A、6 B、0 C、1 D、9

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5. 若整数a使得关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{a + 1}{2 - x} = 2$ 解的取值范围为 $0 \leq x \leq 3$ ，则符合条件的a值可以为（）

A、5 B、4 C、1 D、0

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6. $x$ 为实数， $\frac{4}{x^{2} + 3 x} - (x^{2} + 3 x) = 3$ ，那么 $x^{2} + 3 x$ 的值为（）

A、1 B、-4或1 C、-4 D、4或-1

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7. 若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 3} = 1 + \frac{m x - 2}{9 - x^{2}}$ 无解，则m的值为（）

A、-3或 $- \frac{16}{3}$ B、 $- \frac{16}{3}$ 或 $- \frac{2}{3}$ C、-3或 $- \frac{16}{3}$ 或 $- \frac{2}{3}$ D、-3或 $- \frac{2}{3}$

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8. 关于x的方程 $\frac{3 x - 1}{x + 1} - \frac{m}{x + 1} = 1$ 有增根，则方程的增根是（）

A、-1 B、4 C、-4 D、2

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9. 已知，关于x的分式方程 $\frac{x + m}{x - 4} + \frac{3 m}{4 - x} = 3$ 有增根，且 $m a^{2} + b^{2} + 2 m a - 6 b + 11 = 0$ ，则 $a + b$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知关于x的分式方程 $\frac{m x}{(x - 2) (x - 6)} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x - 6}$ 无解，且关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} m - y > 4 \\ y - 4 \leq 3 (y + 4) \end{array}$ 有且只有三个偶数解，则符合条件的整数m有（　　）个.

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、计算题

11.

(1)、计算： $\frac{3 x}{(x - 3)^{2}} - \frac{x}{3 - x}$

(2)、计算： $(\frac{x + 1}{x^{2} - 1} + \frac{x}{x - 1}) \div \frac{x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

(3)、先化简，再求值：
已知 $\frac{a}{b}$ ＝3，求 $\frac{a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}}{a - b} \div (\frac{3 b^{2}}{a - b} - a - b)$ 的值．

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12. 解下列方程：

(1)、 $\frac{1}{x} = \frac{5}{x + 3}$ ；

(2)、 $\frac{x}{x - 1} = \frac{3}{2 x - 2} - 2$ ；

(3)、 $\frac{2}{2 x - 1} = \frac{1}{4 x^{2} - 1}$ ；

(4)、 $\frac{3}{x^{2} + 2 x} - \frac{1}{x^{2} - 2 x} = 0$ ；

(5)、 $\frac{x}{x - 3} = \frac{x + 1}{x - 1}$ ；

(6)、 $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$ ；

(7)、 $\frac{2 x + 1}{x^{2} + x} = \frac{5}{6 x + 6}$ ；

(8)、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{3 x - 1} = \frac{5}{6 x - 2}$ ．

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13. 解分式方程： $\frac{4}{x^{2} - 2 x} + \frac{x}{2 - x} = - 1$ .

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14. 解方程： $\frac{3}{2} - \frac{7}{6 x - 2} = \frac{4}{3 x - 1}$ ．

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15. 先化简，再求值： $\frac{5}{a} + \frac{a^{2} - 4}{a - 1} \div \frac{a^{2} + 2 a}{a - 1}$ ，其中a＝3．

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16. 先化简，再求值： $\frac{a + 1}{a^{2} + a - 2} \div (a - 2 + \frac{3}{a + 2})$ ，其中 $a = 3$ ．

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17. 先化简，再求值： $\frac{a - 1}{a + 2}$ • $\frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 2 a + 1}$ ÷ $\frac{1}{a^{2} - 1}$ ，其中a满足a²－a＝0．

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18. 先化简、再求值： $(2 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{4 x^{2} - 1}{2 x - 1}$ ，其中 $x - \sqrt{2022} + 1 = 0$

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19. 先化简，再求代数式 $\frac{1}{a} - \frac{a - 3}{a^{2} - 6 a + 9} \div \frac{a^{2} + a}{a - 3}$ 的值，其中 $a = 2 c o s 45 ° - 1$ ．

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20. 化简并求值： $(1 + \frac{x}{x - 4}) (\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4})$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

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21. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - x}{x^{2} - 2 x + 1} + \frac{2}{1 - x}) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 1}$ ，其中x是不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} (x + 1) \leq 2 \\ \frac{x + 2}{3} \geq \frac{x + 3}{4} \end{array}$ 的整数解．

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22. 若数a使关于x的分式方程 $\frac{x + 2}{x - 1} + \frac{a}{1 - x} = 3$ 的解为非负数，且使关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y - 3}{4} - \frac{y + 1}{3} \geq - \frac{13}{12} \\ 2 (y - a) ＜ 0 \end{array}$ 的解集为 $y \leq 0$ ，求符合条件的所有整数a的积．

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23.

(1)、解方程： $\frac{x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x^{2} + x - 2}$

(2)、先化简 $\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 2 x} \div (x - \frac{4}{x})$ ，然后从 $- \sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ 的范围内选取一个喜欢的整数代入求值

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24.

(1)、先化简，再求值： $- 1 + \frac{a + 1}{a} \div (\frac{a}{a + 2} - \frac{1}{a^{2} + 2 a})$ ，请从-1，0，1，2中选择一个你喜欢的数求值．

(2)、已知 $\frac{4 x + 2}{(x + 3) (x - 2)} = \frac{m}{x + 3} + \frac{n}{x - 2}$ ，求m ， n的值．

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三、填空题

25. 若式子 $\frac{x^{0}}{\sqrt{x + 1}}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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26. 分式方程 $\frac{x + 2}{3 - x} + \frac{1}{x - 3} = 1$ 的解是．

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27. 当 $a = 2022$ 时， $(\frac{2 a}{a + 1} - 1) \div \frac{a - 1}{(a + 1)^{2}}$ 的值为.

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28. 已知关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 1} = \frac{m}{2 x - 2} + 3$ 的解是非负数，则m的取值范围是.

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29. 代数式 $\frac{x + 1}{x}$ 与代数式 $\frac{1}{x - 2}$ 的和为1，则x= ．

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30. 人们把 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设 $a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ， $b = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，得 $a b = 1$ ，记 $S_{1} = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b}$ ， $S_{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ ， $S_{3} = \frac{1}{1 + a^{3}} + \frac{1}{1 + b^{3}}$ ， …，则 $S_{1} + S_{2} + \cdot \cdot \cdot + S_{2022} =$ ．

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四、解答题

31. 已知 $A = \frac{2 m + n}{m^{2} - 2 m n + n^{2}} \div \frac{m + n}{m^{2} - n^{2}}$ ．

(1)、化简A；

(2)、若点P（m，n）是直线y =- 2x + 5与y = x - 1的交点，求A的值．

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32. 已知： $A = \frac{x^{2} + x}{x - 4} \div \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 8 x + 16}$ ， $B = \frac{x^{2} - 2 m}{1 - x}$

(1)、化简分式A；

(2)、若关于x的分式方程： $A + B = 1$ 的解是非负数，求m的取值范围；

(3)、当x取什么整数时，分式A的值为整数．

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33. 小王和小凌在解答“解分式方程：

\frac{2 x + 3}{x} = 1 - \frac{x - 1}{x}

”的过程如下框，请你判断他们的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程.

小王的解法：

解，去分母得： $2 x + 3 = 1 - (x - 1)$ ①

去括号得： $2 x + 3 = 1 - x + 1$ ②

移项得： $2 x + x = 1 + 1 - 3$ ③

合并同类项得： $3 x = - 1$ ④

系数化为1得： $x = - \frac{1}{3}$ ⑤

$∴ x = - \frac{1}{3}$ 是原分式方程的解 ⑥

小凌的解法：

解，去分母得： $2 x + 3 = x - x - 1$ ①

移项得： $2 x = - 3 - 1$ ②

合并同类项得： $2 x = - 4$ ③

系数化为1得： $x = - 2$ ④

$∴ x = - 2$ 是原分式方程的解 ⑤

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34. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：

(1)、接力中，自己负责的一步出现错误的是

A、只有乙 B、甲和丁 C、乙和丙 D、乙和丁

(2)、请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，﹣2”中选择一个合适的数求值.

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35. 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝ $- \frac{b}{a}$ ，x₁x₂＝ $\frac{c}{a}$

材料2：已知一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m²n＋mn²的值．

解：∵一元二次方程x²－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，

∴m＋n＝1，mn＝－1，

则m²n＋mn²＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程2x²－3x－1＝0的两个根为x₁ ， x₂ ，则x₁＋x₂＝；x₁x₂＝．

(2)、类比应用：已知一元二次方程2x²－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值．

(3)、思维拓展：已知实数s、t满足2s²－3s－1＝0，2t²－3t－1＝0，且s≠t，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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36. 阅读材料，并完成下列问题：
已知分式方程：① $x + \frac{2}{x}$ ＝3，②x+ $\frac{6}{x}$ ＝5，③x+ $\frac{12}{x}$ ＝7．

其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4．

(1)、观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+ $\frac{30}{x}$ ＝11的解是．

(2)、关于x的方程x+ $\frac{2020}{x}$ ＝101+ $\frac{100}{m}$ 有2个解，它们是x＝101或x＝ $\frac{100}{m}$ ，根据所猜想的规律，求m的值．

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