备考2023年中考数学计算能力训练4 因式分解

试卷更新日期：2023-04-09 类型：二轮复习

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一、单选题（每题1分，共10分）

1. 下列因式分解正确的是（）

A、x²+y²=（x+y） B、x²+2xy+y²=（x-y）² C、x²+x=x（x-1） D、x²-y²=（x+y）（x-y）

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2. 下列各式中，没有公因式的是（）

A、 $a x - b x$ 与 $b y - a y$ B、 $6 x y - 8 x^{2} y$ 与 $- 4 x + 3$ C、 $a b - a c$ 与 $a b - b c$ D、 ${(a - b)}^{3}$ 与 ${(b - a)}^{2} y$

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3. 多项式 $(x + 2) (2 x - 1) - 2 (x + 2)$ 可以因式分解成 $(x + m) (2 x + n)$ ，则 $m - n$ 的值是（）

A、3 B、0 C、5 D、1

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4. 若 $x^{2} + k = (x + 5) (x - 5)$ ，那么（）

A、 $k = 25$ ，从左到右是因式分解 B、 $k = - 25$ ，从左到右是因式分解 C、 $k = 25$ ，从左到右是乘法运算 D、 $k = - 25$ ，从左到右是乘法运算

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5. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ B、 $a^{2} - 2 a + 1 = a (a - 2) + 1$ C、 $a^{2} - a - 2 = (a + 1) (a - 2)$ D、 ${(a - 3)}^{2} = a^{2} - 6 a + 9$

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6. 下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y$ B、 $x^{2} + y^{2} + 2 x y - 2$ C、 $x^{2} - y^{2} + 4 x + 4 y$ D、 $x^{2} - y^{2} + 4 y - 4$

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7. 下列因式分解正确的是（）

A、 $a^{2} b - a b^{2} = a (a + b) (a - b)$ B、 $a^{2} - (2 b - 1)^{2} = (a + 2 b - 1) (a - 2 b + 1)$ C、 $a^{3} - 2 a b + a b^{2} = a (a - b)^{2}$ D、 $a^{2} b^{2} - 4 a^{2} b + 4 a^{2} = a (b - 2)^{2}$

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8. 若 $4 x^{2} + 5 x + k$ 有一个因式为 $(x - 3)$ ，则k的值为（）

A、17 B、51 C、－51 D、－57

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9. 把二次三项式2x²﹣8xy+5y²因式分解，下列结果中正确的是（）

A、（x﹣ $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ y）（x﹣ $\frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ y） B、（2x﹣4y+ $\sqrt{6}$ y）（x﹣ $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ y） C、（2x﹣4y+ $\sqrt{6}$ y）（x﹣ $\frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ y） D、2（x﹣ $\frac{4 - \sqrt{6}}{2}$ y）（x﹣ $\frac{4 + \sqrt{6}}{2}$ y）

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10. 如果二次三项式 $x^{2} - a x - 9$ （ $a$ 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 $a$ 可取值的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、无数个

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二、填空题（每空2分，共12分）

11. 分解因式： $x^{2} + 4 y^{2} - 4 x y =$ ．

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12. 多项式﹣5mx³+25mx²﹣10mx各项的公因式是．

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13. 将多项式 $a b (a - b) - a (b - a)^{2}$ 分解因式的结果是．

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14. 因式分解： $a^{2} (b - 2) + (2 - a) (2 - b) =$ .

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15. 分解因式 $a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 1 =$ ．

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16. 已知 $x + y = - 6$ ， $x y = \frac{1}{4}$ ，则 $x^{3} y + 2 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ 的值为．

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三、计算题（共11题，共75分）

17. 分解因式

(1)、 $4 a^{3} b - 2 a^{2} b^{2}$

(2)、 $x^{2} - 4 x + 4$

(3)、 $2 m^{2} - 18$

(4)、 $a^{2} + 7 a - 18$

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18. 分解因式

(1)、 $6 x^{2} - 4 x y$

(2)、 $a^{2} (x - y) + 9 b^{2} (y - x)$

(3)、 $4 a b^{2} - 4 a^{2} b - b^{3}$

(4)、 ${(y^{2} - 1)}^{2} - 6 (y^{2} - 1) + 9$

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19. 分解因式

(1)、 $(a - 4) b + (4 - a) c$

(2)、 $10 a {(x - y)}^{2} - 5 b (y - x)$

(3)、 $x (x + y) (x - y) - x {(x + y)}^{2}$

(4)、 $9 x^{2} - y^{2} + 6 x + 1$

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20.

(1)、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2 c o s 60 ° - (4 - π)^{0} + | - \sqrt{3} |$

(2)、因式分解： $(a + 2 b)^{2} + 2 (a + 2 b - 1) + 3$

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21. 先化简再求值： $(1 - \frac{a}{a + 2}) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 4 a + 4}$ ，其中 $a = 2022$ ．

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22. 先因式分解，再求值：4x³y﹣9xy³ ，其中x＝﹣1，y＝2．

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23. 已知a+b＝ $\frac{1}{2}$ ， ab＝﹣ $\frac{3}{8}$ ，先因式分解，再求值：a³b+2a²b²+ab³.

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24. 计算

(1)、因式分解： $a^{2} b - 4 b$ ；

(2)、利用因式分解进行简便计算： ${2.2}^{2} + 4.4 \times 17.8 + {17.8}^{2}$

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25. 用简便方法计算.

(1)、 ${6.4}^{2} - {3.6}^{2}$ ；

(2)、 $2104^{2} - 104^{2}$ ；

(3)、 ${2.4}^{2} \times 9 - {1.3}^{2} \times 36$ .

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26. 用简便方法计算.

(1)、 $102^{2} - 102 \times 98$ ；

(2)、 $13.7 \times \frac{17}{31} + 19.8 \times \frac{17}{31} - 2.5 \times \frac{17}{31}$ ；

(3)、 $21 \times 3.14 + 6.2 \times 31.4 + 170 \times 0.314$ ；

(4)、 ${(- 8)}^{2018} + {(- 8)}^{2017}$ .

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27. $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ⋯ ⋯ (1 - \frac{1}{199 9^{2}}) (1 - \frac{1}{200 0^{2}})$ .

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四、解答题（共6题，共53分）

28. 计算求值

(1)、利用因式分解说明： $2 5^{5} + 5^{11}$ 能被30整除．

(2)、先因式分解，然后计算求值： $18 x^{2} + 24 x y + 8 y^{2}$ ，其中 $x = \frac{4}{3}$ ， $y = - \frac{1}{2}$ ．

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29. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 因式分解的过程．
解：设 $x^{2} - 4 x = y$ ，
则原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$ （第一步）
$= y^{2} + 8 y + 16$ （第二步）
$= {(y + 4)}^{2}$ （第三步）
$= {(^{} - 4 x + 4)}^{2}$ （第四步）
解答下列问题：

(1)、该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）

A、提取公因式 B、平方差公式 C、两数和的完全平方公式 D、两数差的完全平方公式

(2)、该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．

(3)、请你模仿以上方法尝试对多项式 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解．

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30. 常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．如x²＋2xy＋y²﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x²＋2xy＋y²﹣16＝（x＋y）²﹣42＝（x＋y＋4）（x＋y﹣4）．它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：

(1)、分解因式：2a²﹣8a＋8；

(2)、请尝试用上面的方法分解因式：x²﹣y²＋3x﹣3y；

(3)、若△ABC的三边a，b，c满足a²﹣ab﹣ac＋bc＝0，请判断△ABC的形状并加以说明．

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31. 阅读理解：
对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ ，能直接用公式法进行因式分解，得到 $x^{2} + 2 a x + a^{2} = {(x + a)}^{2}$ ，但对于二次三项式 $x^{2} + 2 a x - 8 a^{2}$ ，就不能直接用公式法了.

我们可以求用这样的方法：在二次三项式 $x^{2} +$ $2 a x - 8 a^{2}$ 中先加上一项 $a^{2}$ ，使其成为完全平方式，再减去 $a^{2}$ 这项，使整个式了的值不变，于是：

$x^{2} + 2 a x - 8 a^{2}$

$= x^{2} + 2 a x - 8 a^{2} + a^{2} - a^{2}$

$= x^{2} + 2 a x + a^{2} - 8 a^{2} - a^{2}$

$= (x^{2} + 2 a x + a^{2}) - (8 a^{2} + a^{2})$

$= {(x + a)}^{2} - 9 a^{2}$

$= (x + a + 3 a) (x + a - 3 a)$

$= (x + 4 a) (x - 2 a)$

像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添(拆)项法.

(1)、问题解决：请用上述方法将二次三项式x²＋2ax—3a²分解因式；

(2)、拓展应用：二次三项式x²-4x＋5有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由.

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32. 如图所示的大长方形是由三个不同的小长方形和一个正方形拼成的，我们可以用两种不同的方法表无大长右形的面积：① $x^{2} + p x + q x +$ $p q$ ，② $(x + p) (x + q)$ 请据此回答下列问题：

(1)、因为 $x^{2} + (p + q) x + p q = x^{2} + p x + q x + p q$ ，所以 $x^{2} + (p + q) x + p q =$

(2)、利用(1)中的结论，我们可以对特殊的二次三项式䢎行因式分解，例如：
① $x^{2} + 3 x + 2 = x^{2} +$ $(2 + 1) x + 2 \times 1 = (x + 2) (x + 1)$ ；
② $x^{2} - 4 x - 5 = x^{2} + (1 - 5) x + 1 \times (- 5) =$ ▲ (请将结果补充出来)

请利用上述方法将下面多项式分解因式： $x^{2} - 9 x$ $+ 20$ (写出分解过程).

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33. 阅读理解应用
待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解 $x^{3} - 1$ ．
因为 $x^{3} - 1$ 为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想 $x^{3} - 1$ 可以分解成 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + a x + b)$ ，展开等式右边得：
$x^{3} + (a - 1) x^{2} + (b - a) x - b$ ，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等： $a - 1 = 0$ ， $b - a = 0$ ， $- b = - 1$ ，可以求出 $a = 1$ ， $b = 1$ ．
所以 $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

(1)、若 $x$ 取任意值，等式 $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + (3 - a) x + 3$ 恒成立，则 $a =$ ；

(2)、已知多项式 $x^{4} + x^{2} + 1$ 有因式 $x^{2} + x + 1$ ，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．

(3)、请判断多项式 $x^{4} - x^{2} + 1$ 是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．

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