备考2023年中考数学宁波卷变式阶梯训练：第21-24题

试卷更新日期：2023-04-09 类型：三轮冲刺

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一、第二十一题

1. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．

(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)

(1)、若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．

(2)、如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．

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2. 如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的观测点与地面的距离EF为1.6米．

(1)、求建筑物BC的高度；

(2)、求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．
参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73．

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3. 在某大型庆典现场，小明利用无人机对会场进行高空拍摄.如图所示，小明站在A处，操控无人机悬停在前上方B处时，测得其仰角为60°；继续操控无人机沿水平方向向前飞行7s悬停在C处时，测得其仰角为22°.已知无人机的飞行高度是60m，求无人机的飞行速度（结果精确到1m/s.参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40， $\sqrt{3} \approx$ 1.73）.

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4. 倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态.嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为 $30 c m$ ，图2是该自行车的车架示意图，立管 $A B = 27 c m$ ，上管 $A C = 36 c m$ ，且它们互相垂直，座管 $A E$ 可以伸缩，点 $A$ ， $B$ ， $E$ 在同一条直线上，且 $∠ A B D = 75 °$ .

(1)、求下管 $B C$ 的长；

(2)、若后下叉 $B D$ 与地面平行，座管 $A E$ 伸长到 $18 c m$ ，求座垫 $E$ 离地面的距离.
$($ 结果精确到 $1 c m$ ，参考数据 $s i n 75 ° \approx 0.97$ ， $c o s 75 ° \approx 0.26$ ， $t a n 75 ° \approx 3.73)$

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5. 如图1是某体育看台侧面的示意图，观众区AC的坡度i＝1：2，顶端C离水平地面AB的高度为15m，顶棚外沿处的点E恰好在点A的正上方，从D处看E处的仰角α＝30°，竖直的立杆上C，D两点间的距离为5m.

(1)、求观众区的水平宽度AB.

(2)、求图1中点E离水平地面的高度EA.

(3)、因为遮阳需要，现将顶棚ED绕D点逆时针转动11°30′，若E点在地面上的铅直投影是点F（图2），求AF.（sin11°30′≈0.20，cos11°30′≈0.98，tan11°30′≈0.20；sin18°30′≈0.32，cos18°30′≈0.95，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）

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6. 为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进行区间测速.如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的俯角为70°.（A、B、P、Q在同一平面内）

(1)、求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

(2)、求路段AB的长；（ $\sqrt{3}$ ≈1.7，结果保留整数）

(3)、如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个测速路段车辆所用的时间是1.5秒.该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？

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7. 足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得 $∠ C Q A = ∠ A B Q$ （此时也有 $∠ D Q B = ∠ Q A B$ ）时，恰好能使球门AB的张角 $∠ A Q B$ 达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.

(1)、如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时， $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ ， $Q_{3}$ 为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点；

(2)、如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门， $C D ⊥ A B$ 于点D， $A B = 3 a$ ， $B D = a$ .某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
①用含a的代数式表示DQ的长度并求出 $t a n ∠ A Q B$ 的值；

②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为 $\frac{\sqrt{5}}{4} a$ ，若此时守门员站在张角 $∠ A Q B$ 内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a的代数式表示）

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二、第二十二题

8. 为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克．

(1)、求y关于x的函数表达式．

(2)、每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少下克？

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9. 某学校积极响应宁波创建全国文明典范城市的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．

(1)、求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21且为整数；

(2)、若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

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10. 为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，B两种图书.经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元.

(1)、当 $0 \leq x \leq 50$ 和 $x > 50$ 时，求y与x之间的函数关系式；

(2)、现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元.
①当 $x > 50$ 时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A，B两种图书才能使总费用最少？最少总费用多少元？

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11. 如图①，我国传统计重工具杆秤的应用方便了人们的生活．某兴趣小组为探究秤杆上秤砣到秤纽的水平距离x厘米（ $x \geq 4$ ）与秤钩所挂物体重量y斤之间的关系，进行了6次称重，下表为称重时所记录的一些数据．
x
4
12
16
24
28
36
y
0
1
1.5
2.5
3
4

(1)、在图②的平面直角坐标系中，描出以表格中x的值为横坐标、y的值为纵坐标的各点．

(2)、观察（1）所描各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式．

(3)、当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为40厘米时，求秤钩所挂物体的重量．

(4)、若这个秤最大的秤重量是6斤，直接写出秤砣到秤纽的水平距离x的取值范围．

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12. “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物．该吉祥物深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，生产成本和销售单价如下表所示：

生产成本（元/件）
销售单价（元/件）
“冰墩墩”
42
50
“雪容融”
35
41
设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元．

(1)、求出y与x之间的函数关系式；

(2)、若该厂每天投入总成本不超过23800元，应怎样安排“冰墩墩”和“雪容融”的制作量，可使该厂一天所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两个挂件的制作数量．

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13. 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 $y (c m)$ 与注水时间 $x (m i n)$ 之间的关系如图2.根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)、图2中折线 $A B C$ 表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段 $D E$ 表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是 $c m$ ；

(2)、注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；

(3)、若乙槽底面积为 $30 c m^{2}$ （壁厚不计），求乙槽中铁块的体积.

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14. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向 $3 \sim 10 km$ 的出行市场，现有甲乙两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中甲品牌收费方式对应 $y_{1}$ ，乙品牌的收费方式对应 $y_{2}$ .

(1)、甲品牌每分钟收费元；

(2)、求 $AB$ 段的函数关系式；

(3)、如果小明每天早上需要骑行甲品牌或乙品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 $20 km / h$ ，小明家到工厂的距离为 $6 km$ ，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢?

(4)、直接写出两种收费相差 $1.2$ 元时 $x$ 的值.

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三、第二十三题

15.

(1)、【基础巩固】
如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于点G，求证：DG= EG．

(2)、【尝试应用】
如图2，在(1)的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求 $\frac{D E}{B C}$ 的值．

(3)、【拓展提高】
如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的长．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $t a n B = \frac{3}{4}$ ， $D$ 是 $B C$ 边上的一个动点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），以点 $D$ 为顶点作 $∠ A D E = ∠ B$ ，射线 $D E$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ A D$ 交射线 $D E$ 于 $F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ D C E$ ；

(2)、当 $D E ∥ A B$ 时（如图2），求 $A E$ 的长；

(3)、当 $F C = F D$ 时，直接写出 $B D$ 的长．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，

(1)、如图①， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ . $\sin 30 ° =$ ； $\tan 15 ° =$ .

(2)、如图②， $∠ B = 2 ∠ C$ ， $B C = 5$ ， $A C = 6$ .
①求 $A B$ 的长度.

② $P$ 为边 $A C$ 上一点，以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 中的两点及点 $P$ 为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出 $A P$ 的长度.

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18. 如图，点O是△ABC中AB边上一点，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O恰好经过点C，且与边BC，AB分别交于E，F两点.连接AE，过点E作⊙O的切线，交线段BF于点M，交AC的延长线于点N，且EM=BM，EB=AO.

(1)、求 $∠ E A M$ 的度数；

(2)、求证： $A C^{2} = 2 B M \cdot O B$ ；

(3)、若 $O A = \sqrt{3}$ ，求 $Δ C N E$ 的面积.

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19. 如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝ $\frac{3}{4}$ ，点D为BC边上的动点（D不与点B，C重合）.以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.

(1)、求证：△ABD∽△DCE；

(2)、当DE∥AB时（如图2），求AE的长；

(3)、点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由.

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20. 已知， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 2 α °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边中点，连接 $A D$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，线段 $C E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $2 α °$ 得到线段 $E F$ ，连接 $F C$ ， $F D$ .

(1)、如图1，当 $∠ B A C = 60 °$ 时，请直接写出 $\frac{D F}{D C}$ 的值；

(2)、如图2，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

(3)、如图3，当 $∠ B A C = 2 α °$ 时，请直接写出 $\frac{D F}{D C}$ 的值（用含 $α$ 的三角函数表示）.

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21. 问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S₁ ， △BND的面积为S₂.

(1)、初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2时，则S₁S₂=；

(2)、类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S₁S₂的值；

(3)、延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B=∠A=∠EDF=α.
（Ⅰ）如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S₁S₂的表达式（结果用a，b和α的三角函数表示）.

（Ⅱ）如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S₁S₂的表达式，不必写出解答过程.

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四、第二十四题

22. 如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在BC上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB-∠BFD=∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE=FG，连结BD，DG．设∠ACB=α．

(1)、用含α的代数式表示∠BFD．

(2)、求证：△BDE≌△FDG．

(3)、如图2，AD为⊙O的直径．
①当 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为2时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

②当OF：OE=4：11时，求cosα的值．

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23. 我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的垂足三角形．

(1)、如图1，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，△DEF是△ABC的垂足三角形，求DE的长．

(2)、如图2，圆内接三角形ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，△ABC的垂足三角形DEF的周长为y．
①求y与x的关系式；

②若△DEF的周长为 $\frac{192}{25}$ 时，求⊙O的半径．

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24. 如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．

(1)、求证：BE是⊙O的切线；

(2)、已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG= $\sqrt{2}$ ，DF=2BF，求AH的值．

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25.

(1)、问题发现
如图1， $△ A C B$ 和 $△ D C E$ 均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接 $B E$ .

①线段 $A D$ ， $B E$ 之间的数量关系为；

② $∠ A E B$ 的度数为；

(2)、拓展探究
如图2， $△ A C B$ 和 $△ A E D$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ A E D = 90 °$ ，点B，D，E在同一直线上，连接 $C E$ ，求 $\frac{B D}{C E}$ 的值及 $∠ B E C$ 的度数；

(3)、解决问题
如图3，在正方形 $A B C D$ 中， $C D = \sqrt{10}$ ，若点P满足 $P D = \sqrt{2}$ ，且 $∠ B P D = 90 °$ ，请直接写出点C到直线 $B P$ 的距离.

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26. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．

(1)、如图1，点C是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，∠DAB是 $\overset{⌢}{B D}$ 所对的圆周角，AD＞AB，连结AC、DC、CB，试说明△ACB与△ACD是偏等三角形．

(2)、如图2，△ABC与△DEF是偏等三角形，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，则∠B+∠E＝.请填写结论，并说明理由．

(3)、如图3，△ABC内接于⊙O，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝105°，若点D在⊙O上，且△ADC与△ABC是偏等三角形，AD＞CD，求AD的值．

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27. 如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E.

(1)、求证：∠BPD=∠BAC.

(2)、连接EB，ED，当 tan∠MAN=2 AB= $2 \sqrt{5}$ 时，在点P的整个运动过程中.
①若∠BDE=45°，求PD的长.

②若ΔBED为等腰三角形，求直接写出所有满足条件的BD的长.

(3)、连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN=1，OC∥BE时，记ΔOFPP的面积为S₁ ， ΔCFE 的面积为S₂ ，请求出 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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28. 已知，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一个动点，直线 $C F ⊥ B E$ 于点F，连结 $A F$ .

(1)、如图1，点E运动到边 $C D$ 的中点，求证： $A F = A B$ ；

(2)、如图2， $△ A F B$ 的外接圆交 $B C$ 于点G，连结 $F G$ ，求证： $△ C F G ∽ △ B F A$ ；

(3)、如图3，已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，设 $C E = x$ ，用y表示 $△ A F B$ 与 $△ C F B$ 的面积之和，求y关于x的函数解析式及其最大值.

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	生产成本（元/件）	销售单价（元/件）
“冰墩墩”	42	50
“雪容融”	35	41

x	4	12	16	24	28	36
y	0	1	1.5	2.5	3	4