浙教版数学九年级上学期期末重难点复习：二次函数难题汇总卷

试卷更新日期：2023-04-07 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、第一节内容

1. 已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设ΔBEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，能正确描述y与x关系的图像是：（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
2.
如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是( )

A、 $y = \frac{2}{25} x^{2}$ B、 $y = \frac{4}{25} x^{2}$ C、 $y = \frac{2}{5} x^{2}$ D、 $y = \frac{4}{5} x^{2}$

查看试题解析
3. 如图所示，已知抛物线在坐标系中的顶点为 $A$ ，且与坐标轴交点为 $B ， C$ 点.（相关数据见图中标示）

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求△ $A B C$ 的面积；

(3)、在 $y$ 轴上求作一点 $D$ 使△ $A D C$ 得周长最小，求出满足条件的点 $D$ 的坐标.

查看试题解析
4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ 、 $B$ ．且点 $A (0 ， 5)$ ， $B (5 ， 0)$ ，点 $P$ 为抛物线上的一动点．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、如图1，过点 $A$ 作 $A C$ 平行于 $x$ 轴，交抛物线于点 $C$ ，若点 $P$ 在 $A C$ 的上方，作 $P D$ 平行于 $y$ 轴交 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $P A$ ， $P C$ ，当 $S_{四边形 A P C D} = \frac{24}{5} S_{Δ A O E}$ 时，求点 $P$ 坐标；

(3)、设抛物线的对称轴与 $A B$ 交于点 $M$ ，点 $Q$ 在直线 $A B$ 上，当以点 $M$ 、 $E$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点 $Q$ 的坐标．

查看试题解析
5. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C，顶点为点D.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标；

(3)、已知点 $H (0 ， \frac{45}{8})$ ， $G (2 ， 0)$ ，在抛物线对称轴上，找一点F，使 $H F + A F$ 的值最小.此时，在抛物线上是否存在一点K，使 $K F + K G$ 的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
6. 如图，抛物线y=ax² + bx + c 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知：A(-1，0)、C(0，-3).

(1)、求抛物线y= ax² + bx + c 的解析式；

(2)、求△AOC和△BOC的面积比；

(3)、在对称轴上是否存在一个P点，使△PAC的周长最小.若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由.

查看试题解析
7. 如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y＝ $\frac{1}{2}$ x²+bx﹣2的图象过C点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？

查看试题解析
8. 如图①，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的解析式；

(2)、如图②，连接 $B C$ ，点 $E$ 是第三象限内抛物线上的动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ， $E G // y$ 轴交 $B C$ 于点 $G$ ，求 $△ E F G$ 面积的最大值及此时点 $E$ 的坐标；

(3)、如图③，若抛物线的顶点坐标为点 $D$ ，点 $P$ 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 $Q$ ，使得以 $B$ ， $D$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
9. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 $O$ 点上正方 $1 m$ 的 $P$ 处发出一球，羽毛球飞行的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间满足函数表达式 $y = a {(x - 4)}^{2} + h$ ．已知点 $O$ 与球网的水平距离为 $5 m$ ，球网的高度为 $1.55 m$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{24}$ 时，①求 $h$ 的值；
②通过计算判断此球能否过网；

(2)、若甲发球过网后，羽毛球飞行到 $Q$ 处时，乙扣球成功。已知点 $Q$ 离点 $O$ 的水平距离为 $7 m$ ，离地面的高度为 $\frac{12}{5} m$ 的，求 $a$ 的值．

查看试题解析

二、第二节内容

10. 已知抛物线y=-x²+bx+c(b，c为常数)经过点(0，-3)、(-6，-3)．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、此抛物线的顶点坐标为

(3)、当-4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．

(4)、当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．

查看试题解析
11. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + 6 m$ （ $x \leq 2 m$ ， m为常数）的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．

(1)、当 $m = 1$ ，求图象G的最低点坐标；

(2)、平面内有点 $C (- 2 ， 2)$ ．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．
①若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；
②图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，求m的取值范围．

查看试题解析
12. 已知抛物线 $y = - x^{2} - \sqrt{3} x + c$ 经过点（0，2），且与 $x$ 轴交于A、B两点．设k是抛物线 $y = - x^{2} - \sqrt{3} x + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标；M是抛物线 $y = - x^{2} - \sqrt{3} x + c$ 的点，常数m>0，S为△ABM的面积．已知使S=m成立的点M恰好有三个，设T为这三个点的纵坐标的和．

(1)、求c的值；

(2)、且接写出T的值；

(3)、求 $\frac{k^{4}}{k^{8} + k^{6} + 2 k^{4} + 4 k^{2} + 16}$ 的值．

查看试题解析
13. 函数 $y = | a x^{2} + b x + c | (a > 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的图象是由函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的图象 $x$ 轴上方部分不变，下方部分沿 $x$ 轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）
① $2 a + b = 0$ ；② $c = 3$ ；③ $a b c > 0$ ；④将图象向上平移1个单位后与直线 $y = 5$ 有3个交点．

A、①② B、①③ C、②③④ D、①③④

查看试题解析
14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - 1$ （m为常数）.

(1)、求此抛物线的顶点坐标.（用含m的式子表示）

(2)、当 $x \geq 1 - 2 m$ 时，抛物线对应的函数值y随x的增大而先增大后减小，求m的取值范围.

(3)、将抛物线 $y = - x^{2} + 2 m x - 1$ （m为常数）在y轴右侧的部分沿着直线 $y = - 1$ 翻折，翻折后的图像与原抛物线剩余部分合称为图像G.
①当 $m = 1$ 时，在如图的平面直角坐标系中画出图像G.
②当 $m = 1$ ，且图像G与直线 $y = n$ 有且只有两个公共点时，求这两个公共点之间的距离.
③正方形 $O A B C$ 的顶点 $O$ 的坐标为 $(0 ， 0)$ ，顶点B的坐标为 $(2 m ， - 2 m)$ ，当图像G和正方形 $O A B C$ 的边有且只有四个公共点时，直接写出m的取值范围.

查看试题解析
15. 若平面直角坐标系内的点 $M$ 满足横、纵坐标都为整数，则把点 $M$ 叫做“整点”．例如： $P (1 ， 0)$ 、 $Q (2 ， - 2)$ 都是“整点”．抛物线 $y = m x^{2} - 4 m x + 4 m - 2 (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于A、 $B$ 两点，若该抛物线在A、 $B$ 之间的部分与线段 $A B$ 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} \leq m < 1$ B、 $\frac{1}{2} < m \leq 1$ C、 $1 < m \leq 2$ D、 $1 \leq m < 2$

查看试题解析
16. 已知抛物线 $l ： y = a x^{2} - 2 a x + a + 3 (a < 0)$ 与y轴的交点为A，顶点为P，对称轴为直线m.

(1)、求抛物线l的顶点坐标P和对称轴.

(2)、抛物线l关于点A对称的抛物线为 $l^{'}$ ，抛物线 $l^{'}$ 的顶点为Q，对称轴为直线n，在直线m和直线n上是否分别存在点E、F，使得四边形 $P E Q F$ 为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
17. 如图所示，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax²+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1.

其中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

查看试题解析
18. 如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x₁ ， 0），且1<x₁ <2，与y轴交于正半轴.下列结论错误的是（）

A、4a-2b+c=0 B、当x< $- \frac{1}{2}$ 时，y随x增大而增大 C、当x> $- \frac{1}{2}$ 时，y随x增大而减小 D、a<b<0

查看试题解析
19. 定义：如果两个函数y₁ ， y₂存在x取同一个值，使得y₁＝y₂ ，那么称y₁ ， y₂互为“等值函数”，对应的x值为y₁ ， y₂的“等值根”．

(1)、函数y₁＝ $\frac{1}{2}$ x+b与 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．

(2)、如图所示的是y＝﹣|x²+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x²﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y₁＝ $\frac{1}{2}$ x+b与y₂＝﹣|x²+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．

查看试题解析
20. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（）

A、b²＞4ac B、abc＞0 C、a﹣c＜0 D、am²+bm≥a﹣b（m为为任意实数）

查看试题解析
21. 如图，抛物线G：y₁＝a（x+1）²+2与H：y₂＝﹣（x﹣2）²﹣1交于点B(1，﹣2)，且分别与y轴交于点D、E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A、C，则以下结论：①无论x取何值，y₂总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y₁﹣y₂的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是（　　）

A、①③④ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

查看试题解析

三、第三四节

22. $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = a x^{2} + a^{2}$ ，在 $- 1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时有最大值6，则 $a =$ ．

查看试题解析
23. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 的图象与x轴相交于点A和点 $B (1 ， 0)$ ，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F， $A B = 4$ ，设点D的横坐标为m.

(1)、连接AE，CE则 $△ A C E$ 的最大面积为；

(2)、当 $m = - 2$ 时，在平面内存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形，请写出点Q的坐标.

查看试题解析
24. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，其对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ，且与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，下列结论：
① $a b c > 0$ ；② $a = b$ ；③图象与 $x$ 轴的另一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ；④关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c - 1 = 0$ 有两个相等的实数根；⑤ $2 a + c = 0$ ．其中正确的结论个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
25. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 2$ 交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．

①一元二次方程 $- x^{2} + 2 x + 2 - 3 = 0$ 有两个相等的实数根；②若点 $M (- 2 ， y_{1})$ ， $N (1 ， y_{2})$ ， $P (2 ， y_{3})$ 在该函数图象上，则 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ；③将该抛物线先向左平移1个单位，再沿x轴翻折，得到的抛物线表达式是 $y = x^{2} - 3$ ；④在y轴上找一点D，使 $△ A B D$ 的面积为1，则D点的坐标为 $（ 0 ， 4 ）$ .以上四个结论中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
26. 若任意两个正数的和为定值，则它们的乘积会如何变化呢？会不会存在最大值？
特例研究：若两个正数的和是1，那么这两个正数可以是： $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ 和 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ 和 $\frac{4}{5}$ ， …

由于这样的正数有很多，我们不妨设其中一个正数是 $x$ ，另外一个正数为 $y$ ，那么 $x + y = 1$ ，则 $y = 1 - x$ ，所以 $z = x y = x (1 - x) = - x^{2} + x$ ， $0 < x < 1$ ，可以看出两数的乘积 $z$ 是 $x$ 的二次函数，乘积的最大值转化为求关于 $x$ 的二次函数的最值问题．

方法迁移：

(1)、若两个正数x和y的和是6，其中一个正数为 $x (0 < x < 6)$ ，这两个正数的乘积为z，写出z与x的函数关系式，并画出函数图象．

(2)、在（1）的条件下，z的最大值为：，并写出此时函数图象的至少一个性质．

(3)、问题解决：
由以上题目可知若任意两个正数的和是一个固定的数，那么这两个正数的乘积存在最大值，即对于正数x，y，若x+y是定值，则xy存在最大值．

类比应用：

利用上面所得到的结论，完成填空：

①已知函数 $y_{1} = 2 x - 2 (x > 1)$ 与函数 $y_{2} = - 2 x + 8 (x < 4)$ ，则当x＝时， $y_{1} • y_{2}$ 取得最大值为；

②已知函数y₁＝2x-2+m（x≥1），m为正定值，函数y₂＝-2x+8（x<4），则当x为何值时， $y_{1} • y_{2}$ 取得最大值，最大值是多少？

查看试题解析
27. 已知关于 $x$ 的二次函数 $y = 3 x_{}^{2} - 6 a x + 4 a_{}^{2} + 2 a + 4$ ，其中 $a$ 为实数，当-2≤x≤1时， $y$ 的最小值为4，满足条件的 $a$ 的值为。

查看试题解析
28. 已知抛物线 $G ： y = - m x^{2} + 2 m x - 3$ 有最高点．

(1)、m0（填“>、=、<”）；

(2)、求二次函数 $y = - m x^{2} + 2 m x - 3$ 的最大值（用含m的式子表示）；

(3)、将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线 $G_{1}$ ．经过探究发现，随着m的变化，抛物线 $G_{1}$ 顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(4)、记（3）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标 $y_{P}$ 的取值范围．

查看试题解析
29. 已知函数 $y_{1} = (x + m) (x - m - 1)$ ， $y_{2} = a x + m (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中.

(1)、若 $y_{1}$ 经过点（1，-2），求 $y_{1}$ 的函数表达式.

(2)、若 $y_{2}$ 经过点（1，m+1），判断 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 图象交点的个数，说明理由.

(3)、若y₁经过点（ $\frac{1}{2}$ ， 0)，且对任意x，都有 $y_{1} > y_{2}$ ，请利用图象求a的取值范围.

查看试题解析
30. 抛物线 $y = - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + 4$ 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点.

(1)、直接写出A，B，C三点的坐标为A ， B ， C；

(2)、连接 $A P$ ， $C P$ ， $A C$ ，若 $S_{△ A P C} = 2$ ，求点P的坐标；

(3)、连接 $A P$ ， $B C$ ，是否存在点P，使得 $∠ P A B = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

查看试题解析