广东省汕头市2023届高三数学第一次模拟试卷

试卷更新日期：2023-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，集合 $A = {x \in U ‖ x - 2 ∣ \geq 1}$ 则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${x ∣ 1 < x < 3}$ B、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 3}$ C、{2} D、 ${1, - 2, 3}$

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2. 1977年是高斯诞辰200周年，为纪念这位伟大的数学家对复数发展所做出的杰出贡献，德国特别发行了一枚邮票，如图，这枚邮票上印有4个复数，设其中的两个复数的积 $(- 5 + 6 i) (7 - π i) = a + b i$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 7 + 11 π$ B、 $- 35 + 6 π$ C、 $42 + 5 π$ D、 $7 + 11 π$

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3. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（）
（参考公式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} (n \in N^{*})$ ）

A、1450 B、1490 C、1540 D、1580

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0)$ ， $\vec{c} = (\sqrt{3} ， k)$ ．若 $⟨ \vec{a} ， \vec{c} ⟩ = ⟨ \vec{b} ， \vec{c} ⟩$ ，则实数 $k =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、－3 C、 $- \sqrt{3}$ D、3

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5. 现将 $A ， B ， C ， D ， E ， F$ 六个字母排成一排，要求 $A ， B$ 相邻，且 $B ， C$ 不相邻，则不同的排列方式有（）种．

A、192 B、240 C、120 D、28

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6. 已知点 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $c o s ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、6 B、12 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 已知 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $y \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $\frac{c o s x + s i n x}{c o s x - s i n x} = \frac{1 - c o s 2 y}{s i n 2 y}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $t a n (y - x) = 1$ B、 $t a n (y - x) = - 1$ C、 $t a n (y + x) = 1$ D、 $t a n (y + x) = - 1$

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8. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) = 2$ ， $f (x) - g^{'} (4 - x) = 2$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $f (4) = 2$ B、 $g^{'} (2) = 0$ C、 $f (- 1) = f (- 3)$ D、 $f (1) + f (3) = 4$

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二、多选题

9. 如图所示，函数 $f (x) = \sqrt{3} t a n (2 x + φ)$ ， $(| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象与坐标轴分别交于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，且 $△ D E F$ 的面积为 $\frac{π}{4}$ ，以下结论正确的是（）

A、点 $D$ 的纵坐标为 $\sqrt{3}$ B、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 是 $f (x)$ 的一个单调递增区间 C、对任意 $k \in Z$ ，点 $(- \frac{π}{12} + \frac{k π}{4} ， 0)$ 都是 $f (x)$ 图象的对称中心 D、 $f (x)$ 的图象可由 $y = \sqrt{3} t a n x$ 图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

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10. 已知直线 $l_{1}$ ： $2 x - y - 3 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x - 2 y + 3 = 0$ ，圆C： $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ ，若圆C与直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 都相切，则下列选项一定正确的是（）

A、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 关于直线 $y = x$ 对称 B、若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9 C、圆C的圆心在直线 $x + y - 6 = 0$ 或直线 $x - y = 0$ 上 D、与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个

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11. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）

A、 $A C_{1} = \sqrt{6}$ B、 $A C_{1} ⊥ B D$ C、四边形 $B D D_{1} B_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12. 已知 $2^{x} = 3^{y} = 36$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x y = 2 (x + y)$ B、 $x y > 16$ C、 $x + y < 9$ D、 $x^{2} + y^{2} < 32$

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三、填空题

13. 在 ${(x + \frac{2}{x} - y)}^{10}$ 的展开式中， $x y^{7}$ 的系数为．

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14. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x} - 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为．

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15. 如图，在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积 $S =$ ．

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16. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上的任意一点 $P$ ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点 $M ， N$ ，若 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} \geq \frac{1}{4} b^{2}$ ，则双曲线离心率的取值范围是.

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上的一点， $α = ∠ B A D$ ， $β = ∠ D A C$ ．

(1)、证明： $\frac{B D}{D C} = \frac{A B \cdot s i n α}{A C \cdot s i n β}$ ；

(2)、若D为靠近B的三等分点， $A B = 2 \sqrt{7}$ ， $A C = 2$ ， $β = 90 °$ ， $∠ B A C$ 为纯角，求 $S_{△ A C D}$ ．

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18. 2023年1月14日，翘首以盼的汕头镇邦美食街开街啦！近年来，汕头多措并举，提升汕头美食品牌，推动潮汕菜产业做大做强，镇邦美食街的建成开街，是汕头美食产业的又一里程碑，同时“舌尖汕头”——汕头美食地图同步上线，以微信小程序的形式面向游客，并通过意见反馈功能收集游客满意度调查问卷．
▲参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
$P (x^{2} \geq x_{α}) = α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、现将游客按年龄段分为老中青三个群体，通过问卷数据分析显示，老年群体中有 $56 %$ 的游客给予好评，中年群体有 $65 %$ 的游客给予好评，青年群体中有 $70 %$ 的游客给予好评，且老中青三个群体游客人数之比为 $5 ： 6 ： 9$ ，从这三个群体中随机抽取1名游客，求该游客给予好评的概率．

(2)、镇邦美食街共有 $20$ 多家餐饮单位进驻，为维护市场价格秩序，营造公平竞争良好环境，汕头市监管部门到镇邦美食街举办餐饮明码标价现场指导会，现针对明码标价指导会前、会后游客满意度进行问卷回访调查，统计了 $100$ 名游客的数据，列出如下 $2 \times 2$ 列联表：
对镇邦美食街餐饮价格是否满意
明码标价指导会前
明码标价指导会后
合计
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
请根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会是否有关联．

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19. 已知 $T_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项的乘积，且 $a_{1} = 3$ ， $T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求 $[S_{2023}]$ （ $[x]$ 表示不超过x的最大整数）．

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20. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 与 $A B E F$ 均为直角梯形， $A D / / B C$ ， $A F / / B E$ ， $D A ⊥$ 平面 $A B E F$ ， $A B ⊥ A F$ ， $A D = A B = 2 B C = 2 B E = 2$ ．

(1)、已知点 $G$ 为 $A F$ 上一点，且 $A G = 2$ ，求证： $B G$ 与平面 $D C E$ 不平行；

(2)、已知直线 $B F$ 与平面 $D C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求该多面体 $A B C D E F$ 的体积．

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21. 如图，已知 $E (m ， n)$ 为抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 内一定点，过E作斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线，与抛物线交于 $A ， B ， C ， D$ ，且 $M ， N$ 分别是线段 $A B ， C D$ 的中点．

(1)、若 $m = 0$ 且 $k_{1} k_{2} = - 1$ 时，求 $△ E M N$ 面积的最小值；

(2)、若 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = λ (λ \neq 0)$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} - l n (x + 2) + l n a - 2$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 2023$ 处取得极值，求 $a$ 的值及函数的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围．

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$P (x^{2} \geq x_{α}) = α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

对镇邦美食街餐饮价格是否满意	明码标价指导会前	明码标价指导会后	合计
满意	28	57	85
不满意	12	3	15
合计	40	60	100