重庆市2023届高高三数学第二次模拟考试试卷（适用新高考）

试卷更新日期：2023-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | l o g_{2} (x + 2) < 2}$ ，集合 $B = {x | 1 \leq 2^{x} \leq 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $[0 ， 2)$ D、 $[0 ， 2]$

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2. 复平面内复数 $z$ 满足 $| z - 2 | - | z + 2 | = 2$ ，则 $| z - i |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式中，第 $3$ 项与第 $9$ 项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（）

A、 $2^{12}$ B、 $3^{12}$ C、 $3^{10}$ D、 $2^{10}$

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4. 在8张奖券中有一等奖 $2$ 张，二、三等奖各1张，其余4张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况数为（）

A、120 B、96 C、148 D、216

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5. 若不等式 $(- 1)^{n} n a < n + (- 1)^{n + 1}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， \frac{1}{2})$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{2})$ C、 $[- 2 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- 2 ， \frac{1}{2})$

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6. 设两个相关变量 $x$ 和 $y$ 分别满足下表：

$x$

1

2

3

4

5

$y$

1

2

8

8

16

若相关变量 $x$ 和 $y$ 可拟合为非线性回归方程 $\hat{y} = 2^{b x + a}$ ，则当 $x = 6$ 时， $y$ 的估计值为（）

（参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ， $\dots$ ， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ ； $1.1 5^{5} \approx 2$ ）

A、33 B、37 C、65 D、73

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7. $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的左 $､$ 右焦点，点 $M$ 为双曲线 $E$ 右支上一点，点 $N$ 在 $x$ 轴上，满足 $∠ F_{1} M N = ∠ F_{2} M N = 6 0^{∘}$ ，若 $3 \vec{M F_{1}} + 5 \vec{M F_{2}} = λ \vec{M N} (λ \in R)$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{8}{7}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{2}$

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8. 设 $a = \frac{10}{9} ， b = e^{s i n \frac{1}{10}} ， c = 1 + l n \frac{19}{17}$ ， $($ 其中 $e$ 是自然对数的底数 $)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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二、多选题

9. 用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学期末成绩 $($ 满分为100分，成绩都是整数 $)$ 中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组： $[40 ， 50) ， [50 ， 60)$ ， $[60 ， 70) ， [70 ， 80)$ ， $[80 ， 90) ， [90 ， 100]$ ，绘制得到如图所示的频率分布直方图 $($ 同一组的数据用该组的中间值代表 $) .$ 则下列说法中正确的是（）

A、男生成绩样本数据的平均数为71 B、估计有90%的男生数学成绩在84分以内 C、在 $[50 ， 60)$ 和 $[90 ， 100]$ 内的两组男生成绩中，随机抽取两个进行调查，则调查对象来自不同分组的概率为 $\frac{3}{7}$ D、若男生成绩样本数据的方差为187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，则总样本的方差为146

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10. 已知点 $A (- 2 ， - 3) ， B (- 2 ， 9)$ ，圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + m = 0$ ，若在圆 $C$ 上存在唯一的点 $Q$ 使得 $∠ A Q B = 9 0^{∘}$ ，则 $m$ 可以为（）

A、3 B、-21 C、-93 D、-117

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11. 若空间中经过定点 $O$ 的三个平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ 两两垂直，过另一定点A作直线 $l$ 与这三个平面的夹角都为 $θ_{1}$ ，过定点A作平面 $δ$ 和这三个平面所夹的锐二面角都为 $θ_{2} .$ 记所作直线 $l$ 的条数为 $m$ ，所作平面 $δ$ 的个数为 $n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 4$ B、 $m + n = 6$ C、 $t a n θ_{1} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $s i n θ_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) ， g (x)$ 的定义域为 $R$ ， $g^{'} (x)$ 为 $g (x)$ 的导函数，且 $f (x) + g^{'} (x) - 10 = 0$ ， $f (x) - g^{'} (4 - x) - 10 = 0$ ，若 $g (x)$ 为偶函数，则下列一定成立的有（）

A、 $f (2) = 10$ B、 $f （ 4 ） = 10$ C、 $f^{^{'}} (- 1) = f^{^{'}} (- 3)$ D、 $f^{'} (2023) = 0$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $| \vec{a} | = 4 ， | \vec{b} | = 2$ ，则向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为. $($ 用 $\vec{a}$ 表示 $)$

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14. 已知 $f (x) = a x^{2} (a > 0)$ 的图象在 $x = 1$ 处的切线与与函数 $g (x) = e^{x}$ 的图象也相切，则该切线的斜率 $k =$ .

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15. 如图，函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象与坐标轴交于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，直线 $B C$ 交 $f (x)$ 的图象于点 $D$ ， $O ($ 坐标原点 $)$ 为 $△ A B D$ 的重心 $($ 三条边中线的交点 $)$ ，其中 $A (- π ， 0)$ ，则 $t a n B =$ ．

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16. 已知球 $O$ 的表面积为 $36 π$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最大值为．

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四、解答题

17. 在平面四边形 $A B E C$ 中， $A C - A C c o s A = \sqrt{3} B C s i n ∠ A B C$ ， $E C = \sqrt{3} A C$ ， $∠ A C E = 12 0^{°}$ ， $∠ E B C = 3 0^{°}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $n a_{n + 1} - (n + 1) a_{n} = 5$ ，且 $a_{1} \neq - 5$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n} + 5}{n}}$ 为常数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若使不等式 $S_{n} > 20$ 成立的最小整数为 $7$ ，且 $a_{1} \in Z$ ，求 $a_{1}$ 和 $S_{n}$ 的最小值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 矩形 $A B C D$ ，且 $P D = C D$ ，过棱 $P C$ 的中点 $E$ ，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ，连接 $D E ， D F ， B D ， B E .$

(1)、证明： $P B ⊥ D F$ ；

(2)、若 $P D = 1$ ，平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$ 所成二面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求 $V_{P - D E F}$ 的值．

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20. 某网络 $A P P$ 在平台开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，竞猜活动共五关，规定：上一关不通过则不进入下一关，本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，且各关能否通过相互独立，已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动．
附：若随机变量 $Z \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

(1)、若甲第一关通过的概率为 $\frac{3}{4}$ ，第二关通过的概率为 $\frac{2}{3}$ ，求甲可以进入第三关的概率；

(2)、已知该闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励，
①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由；
②丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪．

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21. 过抛物线 $E ： x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 作斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ 的两条不同的直线 $l_{1} ， l_{2}$ ，且 $l_{1} 与 E$ 相交于点 $A$ ， $B$ ， $l_{2} 与 E$ 相交于点 $C$ ， $D$ ．以 $A B$ ， $C D$ 为直径的圆 $M$ ，圆 $N (M ， N$ 为圆心 $)$ 的公共弦所在的直线记为 $l$ ．

(1)、若 $k_{1} \cdot k_{2} = 2$ ，求 $\vec{F M} \cdot \vec{F N}$ ；

(2)、若 $k_{1} + k_{2} = 2$ ，求点 $M$ 到直线 $l$ 的距离的最小值．

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22. 已知函数 $p (x) = \frac{a x}{e^{x}}$ ，且 $a > 0$ ．

(1)、求 $p (x)$ 的极值点；

(2)、设 $f (x) = \frac{1}{x} p (x) + \frac{1}{a} p (l n x)$ ，若 $x_{0}$ ， $x_{1}$ 分别是 $f (x)$ 的零点和极值点，证明： $l n x_{1} < x_{0}^{2} - x_{0} + 1$ ．

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$x$	1	2	3	4	5
$y$	1	2	8	8	16