浙江省温州市2023届高三下学期数学3月高考适应性测试（二模）试卷

试卷更新日期：2023-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | \leq 2}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 4}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 3}$ B、 ${x | - 3 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | 3 < x \leq 4}$ D、 ${x | - 3 < x \leq 0}$

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2. 已知 $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位，且 $(1 + a i) (1 + i)$ 为实数，则 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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3. 已知 $a ， b$ 为实数， $p ： a + b = 0 ， q ： a^{2} + b^{2} = 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 \\ x+y-3 \geq 0 \\ x-2y \leq 0 \end{array} ，则 z = x + 2 y$ 的取值范围是（）

A、[0，6] B、[0，4] C、[6， $+ \infty ）$ D、[4， $+ \infty ）$

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5. 在 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - 2 x)}^{9}$ 的展开式中，常数项是（）.

A、 $C_{9}^{3}$ B、 $- C_{9}^{3}$ C、 $8 C_{9}^{3}$ D、 $- 8 C_{9}^{3}$

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6. 随机变量X的分布列如表所示，若 $E (X) = \frac{1}{3}$ ，则 $D (3 X - 2) =$ （）
X
-1
0
1
P
$\frac{1}{6}$
a
b

A、9 B、7 C、5 D、3

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7. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中， $F$ 为右焦点， $B$ 为上顶点， $O$ 为坐标原点，直线 $y = \frac{b}{a} x$ 交椭圆于点 $C$ （点 $C$ 位于第一象限），若 $S_{△ B F O} = S_{△ B F C}$ ，则该椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} + 1}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2} - 1}{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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8. 已知函数 $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则 $g (x) = \frac{e^{x}}{f (x)}$ （）

A、在区间 $(0 ， 1)$ 上是减函数 B、在区间 $(1 ， 4)$ 上是减函数 C、在区间 $(1 ， \frac{4}{3})$ 上是减函数 D、在区间 $(\frac{4}{3} ， 4)$ 上是减函数

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9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ，且对任意实数 $x$ ， $y$ ， $| \vec{a} - x \vec{b} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $| \vec{b} - y \vec{a} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} |$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$ C、 $\sqrt{7}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$ 或 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$

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10. 如图，已知线段 $A B$ 垂直于定圆所在的平面， $B ， C$ 是圆上的两点， $H$ 是点 $B$ 在 $A C$ 上的射影，当 $C$ 运动时，点 $H$ 运动的轨迹（）

A、是圆 B、是椭圆 C、是抛物线 D、不是平面图形

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二、填空题

11. 已知 $2^{a} = 3 ， 3^{b} = 2$ ，则 $a ， b$ 的大小关系是， $a b =$ .

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12. 若 $c o s 2 α = 2 c o s (α + \frac{π}{4}) ， α \in (0 ， π)$ ，则 $s i n 2 α =$ ， $t a n α =$ .

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13. 某几何体的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该几何体的体积是 $c m^{3}$ ，表面积是 $c m^{2}$ ．

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14. 若递增数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = a$ ， $a_{2} = 2 - a$ ， $a_{n + 2} = 2 a_{n}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为，记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2 n} =$ .

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15. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} - {\vec{b}}^{2} = | \vec{a} | = 3$ ，且 $| \vec{b} | \geq 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影的取值范围是.

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16. 学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有种情况.

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17. 已知 $f (x) = x^{2} - a x ， | f (f (x)) | \leq 2$ 在 $[1 ， 2]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的最大值为．

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三、解答题

18. 如图，已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象与坐标轴交于点 $A$ ， $B$ ， $C (- \frac{1}{2} ， 0)$ ，直线 $B C$ 交 $f (x)$ 的图象于另一点 $D$ ， $O$ 是 $△ A B D$ 的重心.

(1)、求 $φ$ ；

(2)、求 $△ A C D$ 的外接圆的半径.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ A B C = 9 0^{0}$ ， $A B / / C D$ ， $Δ A P D$ 是等边三角形， $B P = 3$ ， $A B = A P = 2 ， A D ⊥ B P$ ．
（Ⅰ）求 $B C$ 的长度；
（Ⅱ）求直线 $B C$ 与平面 $A D P$ 所成的角的正弦值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{4 \sqrt{x} - 3}{e^{2 x}}$ ， $g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + a x$ .

(1)、若 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与 $y = g (x)$ 也相切，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x) + g (x)$ 的最大值.

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21. 如图，斜率为 $k$ 的直线交抛物线 $x^{2} = 4 y$ 于 $A ， B$ 两点，已知点 $B$ 的横坐标比点 $A$ 的横坐标大4，直线 $y = - k x + 1$ 交线段 $A B$ 于点 $R$ ，交抛物线于点 $P ， Q$ ．

(1)、若点 $A$ 的横坐标等于0，求 $| P Q |$ 的值；

(2)、求 $| P R | \cdot | Q R |$ 的最大值．

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22. 设 $S_{n}$ 为正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} - 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若不等式 ${(1 + \frac{2}{a_{n} + t})}^{a_{n}} \geq 4$ 对任意正整数 $n$ 都成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(3)、设 $b_{n} = e^{\frac{3}{4} a_{n} l n (n + 1)}$ （其中 $e$ 是自然对数的底数），求证： $\frac{b_{1}}{b_{3}} + \frac{b_{2}}{b_{4}} + … + \frac{b_{n}}{b_{n + 2}} < \frac{\sqrt{6}}{6}$ .

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X	-1	0	1
P	$\frac{1}{6}$	a	b