浙江省强基联盟2023届高三下学期数学2月统测试卷

试卷更新日期：2023-04-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ 2^{x} \leq 4} ， B = {x ∣ l o g_{2} x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ x \leq 2}$ B、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ x \leq 4}$ D、 ${x ∣ 0 < x \leq 4}$

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2. 若 $(1 + i) \bar{z} = - 2 i$ （i是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知 $a ， b \in R$ ，则“ $a > | b |$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：
时间/分钟
10~20
20~30
30~40
40~50
甲的频率
0.1
0.4
0.2
0.3
乙的频率
0
0.3
0.6
0.1
某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用 $X$ 表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则 $X$ 的数学期望和方差分别是（）

A、 $E (X) = 1.5 ， D (X) = 0.36$ B、 $E (X) = 1.4 ， D (X) = 0.36$ C、 $E (X) = 1.5 ， D (X) = 0.34$ D、 $E (X) = 1.4 ， D (X) = 0.34$

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5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左、右焦点为 $F_{1} ， F_{2} ， P (1 ， m)$ 为椭圆上一点，过P点作椭圆的切线l，PM垂直于直线l且与x轴交于点M，若M为 $O F_{2}$ 的中点，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑为四个面都为直角三角形的三棱锥，如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C ， A A_{1} = 2$ ，鳖臑 $B_{1} - A_{1} C_{1} B$ 的外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$ ，则阳马 $B - A C C_{1} A_{1}$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、4

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7. 已知在三角形ABC中， $A B = 3 ， A C = 2 ， ∠ A = 60 °$ ，点M，N分别为边AB，AC上的动点， $\vec{A M} = x \vec{A B} ， \vec{A N} = y \vec{A C}$ ，其中 $x ， y > 0 ， x + y = 1$ ，点P，Q分别为MN，BC的中点，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ B、 $\frac{3 \sqrt{21}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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8. 已知 $a = 2 ， b = 2 . 1^{0.9} ， c = 1 . 9^{1.1}$ ，且 $\frac{11}{19} + l n \frac{10}{19} < 0$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > a > c$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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二、多选题

9. 用分层随机抽样法从某校高一年级学生的数学竞赛成绩（满分150分）中抽取一个容量为120的样本，其中男生成绩的数据有80个，女生成绩的数据有40个，将这80个男生的成绩分为6组，绘制得到如图所示的频率分布直方图，下列说法正确的是（）

A、男生成绩的样本数据在 $[90 ， 110)$ 内的频率为0.015 B、男生成绩的样本数据的平均数为97 C、男生成绩的样本数据的第75百分位数为118 D、女生成绩的样本数据的平均数为91，则总样本的平均数为95

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，若点M在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列结论正确的为（）

A、三棱锥 $M - A C D_{1}$ 的体积为定值 B、直线DM与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、 $A M ⊥ A_{1} D$ D、点M到平面 $C D D_{1}$ 与到平面ACD的距离之和为定值

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点（点A在第一象限），过A，B点作准线的垂线，垂足分别为 $A_{1} ， B_{1}$ ．设直线l的倾斜角为 $θ$ ，当 $θ = \frac{π}{6}$ 时， $| A B | = 16$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $∠ A M B$ 有可能为直角 B、 $| M F | | A_{1} B_{1} | = | F A_{1} | | F B_{1} |$ C、Q为抛物线C上一个动点， $E (3 ， 1)$ 为定点， $| | Q E | - | Q F | |$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ D、过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点（点P在第一象限），则存在 $θ$ ，使 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| P F |} = 1$

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12. 已知连续函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{^{'}} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ ，若 $g^{'} (\frac{3}{2} - \frac{2}{3} x)$ 为奇函数， $f (\frac{3}{4} + 2 x) - 2 x$ 的图象关于y轴对称，则（）

A、 $g^{^{'}} (3) = 0$ B、 $g (\frac{3}{4}) = g^{'} (\frac{3}{2})$ C、 $g^{'} (x)$ 在 $(0 ， 4)$ 上至少有2个零点 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} [g (\frac{3}{4} k) + g^{'} (\frac{3}{4} k)] = 3036$

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三、填空题

13. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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14. 已知直线 $l ： m x - y + 2 m = 0$ 与曲线 $C ： y = 2 - \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个交点，则m的取值范围为．

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15. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ， $f (x) \leq | f (\frac{π}{6}) |$ ， $f (x) + f (\frac{4 π}{3} - x) = 0$ ， $f (x)$ 在 $(\frac{π}{36} ， \frac{π}{6})$ 上单调，则正整数 $ω$ 的最大值为．

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16. $\forall a ， b \in R ， \frac{4 l n x + 3}{4 x} \leq \frac{3}{4 x} + a + \frac{b}{x} \leq x$ ，则b的最大值是．

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四、解答题

17. 已知 $a_{1} = 1 ， {a_{n} + 1}$ 是公比为2的等比数列， ${b_{n}}$ 为正项数列， $b_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $(2 n - 3) b_{n} = (2 n - 1) b_{n - 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ．求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知锐角 $△ A B C$ ， a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 $2 a c o s C = b - a$ ．

(1)、证明： $C = 2 A$ ；

(2)、若 $C D$ 为 $∠ A C B$ 的角平分线，交AB于D点，且 $C D = \sqrt{3} ， S_{△ A C D} = \sqrt{2}$ ．求 $a$ 的值．

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19. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上一动点（点P与点A，D不重合）， $A B = A D = 4$ ．

(1)、证明： $D P ⊥ P B$ ；

(2)、若点P在平面ABCD的射影为点H，设 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点为E点，当点P运动到某个位置时，平面 $P B D$ 与平面 $C D E$ 的夹角为 $45 °$ ，求此时DH的长度．

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20. 2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．

下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：

淘汰赛	比赛结果	淘汰赛	比赛结果
1/8决赛	荷兰 $3 ： 1$ 美国	1/4决赛	克罗地亚 $（ 4 ） 1 ： 1 （ 2 ）$ 巴西
	阿根廷 $2 ： 1$ 澳大利亚		荷兰 $（ 3 ） 2 ： 2 （ 4 ）$ 阿根廷
	法国 $3 ： 1$ 波兰		摩洛哥 $1 ： 0$ 葡萄牙
	英格兰 $3 ： 0$ 塞内加尔		英格兰 $1 ： 2$ 法国
	日本 $（ 1 ） 1 ： 1 （ 3 ）$ 克罗地亚	半决赛	阿根廷 $3 ： 0$ 克罗地亚
	巴西 $4 ： 1$ 韩国	半决赛	法国 $2 ： 0$ 摩洛哥
	摩洛哥 $（ 3 ） 0 ： 0 （ 0 ）$ 西班牙	季军赛	克罗地亚 $2 ： 1$ 摩洛哥
	葡萄牙 $6 ： 1$ 瑞士	决赛	阿根廷 $（ 4 ） 3 ： 3 （ 2 ）$ 法国

注：“阿根廷 $（ 4 ） 3 ： 3 （ 2 ）$ 法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为 $3 ： 3$ ，在点球大战中阿根廷 $4 ： 2$ 战胜法国．

参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d .$

$P (χ^{2} \geq α)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$α$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)、请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．

(2)、根据题意填写下面的

2 \times 2

列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．

	欧洲球队	其他球队	合计
闯入8强
未闯入8强
合计

(3)、若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为

\frac{2}{3}

，求在点球大战中，两队前2轮比分为

2 ： 2

的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．

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21. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为10，且经过点 $M (8 ， 3 \sqrt{3})$ ． A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线 $x = 2$ 上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．

(1)、求双曲线E的标准方程．

(2)、直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + a l n x - 2 x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性，

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ． $f (x_{1}) + f (x_{2}) < - 3 e^{- 2} - 2$ 恒成立．
①求a的取值范围；
②证明： $f (x) < \frac{1}{2} x^{2} + (a - 1) l n x - (a + 2) x + x e^{x} - 1$

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时间/分钟	10~20	20~30	30~40	40~50
甲的频率	0.1	0.4	0.2	0.3
乙的频率	0	0.3	0.6	0.1