浙江省嘉兴市平湖市2023届高三下学期数学3月模拟试卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | x^{2} - 3 x - 4 \leq 0}$ ， $N = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 $[- 1 ， 2]$ B、 $[- 1 ， 4]$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $[- 2 ， 4]$

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2. 若复数 $z$ 满足 $2 z + \bar{z} - i^{3} = 3$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 等边 $△ A B C$ 的边长为3，若 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{B F} = \vec{F D}$ ，则 $| \vec{A F} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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4. 《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（）

A、8 B、6 C、4 D、3

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5. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $3^{n} - 1$ ，则数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和为（）

A、 $\frac{9^{n + 1} + 15}{8} + n - 3^{n + 1}$ B、 $\frac{9^{n} + 15}{8} + n - 3^{n}$ C、 $\frac{9^{n} - 1}{4}$ D、 $\frac{9^{n} - 1}{2}$

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6. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ 与直线 $l ： m x - y + m = 0 (m \in R)$ ，若在直线 $l$ 上存在点 $P$ ，使得 $| P A | = 2 | P B |$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{3}] ∪ [\frac{\sqrt{3}}{3} ， + \infty)$ C、 $[- \sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ D、 $(- \infty ， - \sqrt{3}] ∪ [\sqrt{3} ， + \infty)$

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7. 若一个三位数 $M$ 的各个数位上的数字之和为8，则我们称 $M$ 是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（）

A、34个 B、35个 C、36个 D、37个

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8. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) f (x) - f (x + 2) + f (x) + 1 = 0$ ，若 $f (1) > 0$ ，且对 $\forall x$ ， $y \in R$ ，均有 $f (x + y) f (x - y) = [f (x) + f (y)] [f (x) - f (y)]$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $- 1 + \sqrt{2}$ C、 $1 - \sqrt{2}$ D、 $- 1 - \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = l n x$ ， $g (x) = 2 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $F (x) = f (x) g (x)$ ，则 $F^{'} (x) = 2 + 2 l n x$ B、若 $G (x) = f (g (x))$ ，则 $G^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ C、若 $H (x) = \frac{f (x)}{g (x)}$ ，则 $H^{'} (x) = \frac{1 - l n x}{2 x^{2}}$ D、方程 $f (x) = g (x) - 2$ 有唯一实根

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、 $f (x) \leq f (- \frac{π}{12})$ C、 $f (x)$ 在 $[π ， \frac{4 π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有且仅有四个零点

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左右顶点， $B$ 为椭圆的上顶点.设 $M$ 是椭圆 $C$ 上一点，且不与顶点重合，若直线 $A_{1} B$ 与直线 $A_{2} M$ 交于点 $P$ ，直线 $A_{1} M$ 与直线 $A_{2} B$ 交于点 $Q$ ，则（）

A、若直线 $A_{1} M$ 与 $A_{2} M$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{3}{4}$ B、直线 $P Q$ 与 $x$ 轴垂直 C、 $| B P | = | B Q |$ D、 $| M P | = | M Q |$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点，且 $M N$ 与正方体的内切球 $O$ （ $O$ 为球心）交于 $E$ ， $F$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、线段 $E F$ 的长为 $\sqrt{3}$ B、过 $O$ ， $M$ ， $N$ 三点的平面截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面面积为 $3 \sqrt{3}$ C、三棱锥 $O - D E F$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、设 $P$ 为球 $O$ 上任意一点，则 $A P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的范围是 $[0 ， \frac{π}{3}]$

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三、填空题

13. $(x + \frac{1}{x}) {(1 - 2 x)}^{6}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为.

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14. 已知函数 $f (x) = m e^{x} - \frac{x^{2}}{4}$ 有两个极值点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 2)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线分别交两条渐近线于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $| F_{2} P | = | F_{2} Q |$ 且 $2 | O P | \cdot | O Q | = {| P Q |}^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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四、解答题

17. 糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：

优等品
合格品
合计
特级品
一级品
二级品
工厂甲
100
75
25
200
工厂乙
120
30
50
200
合计
220
105
75
400
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + c) (b + d) (a + b) (c + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
独立性检验临界值表：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、从400个糟蛋中任取一个，记事件 $A$ 表示取到的糟蛋是优等品，事件 $B$ 表示取到的糟蛋来自于工厂甲.求 $P (A | \bar{B})$ ；

(2)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工厂生产的糟蛋质量有差异？

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18. 已知数列 ${\sqrt{a_{n} + 1}}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 3$ ， $a_{5} = 99$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {(- 1)}^{n} l n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\frac{s i n 2 B}{1 + c o s 2 B} = \frac{t a n C + 1}{t a n C - 1}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、设 $A D$ 是 $B C$ 边上的高，且 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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20. 如图在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $A C$ 的中点， $A B = B C = 2$ ， $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ B_{1} B C$ .

(1)、证明： $B B_{1} ⊥ A C$ ；

(2)、若 $B B_{1} ⊥ B C$ ，且满足：_____，________（待选条件）.
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角 $B - B_{1} D - C_{1}$ 的正弦值.

①三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $3 \sqrt{3}$ ；

②直线 $A B_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ ；

③二面角 $A - B B_{1} - C$ 的大小为60°；

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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21. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过焦点 $F$ 的直线交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = | A F | \cdot | B F |$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、若点 $P (4 ， 4)$ ，直线 $P A$ ， $P B$ 分别交准线 $l$ 于 $M$ ， $N$ 两点，证明：以线段 $M N$ 为直径的圆过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} - a l n x (a > 0)$ ， $g (x) = x^{2} - 1 - x l n x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，求证： $g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) > 0$ .

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	优等品		合格品	合计
	特级品	一级品	二级品	合计
工厂甲	100	75	25	200
工厂乙	120	30	50	200
合计	220	105	75	400

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828