浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期数学3月联考试卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | \frac{1}{x} > 1} ， B = {x | \sqrt{x} \geq \frac{1}{2}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | \frac{1}{4} \leq x < 1}$ B、 ${x | \frac{\sqrt{2}}{2} \leq x < 1}$ C、 ${x | x < 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 若 $(1 - 2 i) z = 2 i^{3}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{16}{25}$

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3. $(\frac{1}{x} + x) {(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中常数项为（）

A、280 B、-280 C、160 D、-160

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4. “省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根 $23 c m$ 长的尺子，要能够量出长度为 $1 c m$ 到 $23 c m$ 且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根 $8 c m$ 的尺子，要能够量出长度为 $1 c m$ 到 $8 c m$ 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（）个刻度

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 班级举行知识竞猜闯关活动，设置了 $A ， B ， C$ 三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有60%的可能答对问题 $A$ ， 80%的可能答对问题 $B$ ， 50%的可能答对问题 $C$ ．记答题者连续答对两题的概率为 $p$ ，要使得 $p$ 最大，他应该先回答（）

A、问题 $A$ B、问题 $B$ C、问题 $A ， B$ 和 $C$ 都可以 D、问题 $C$

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6. 在平面直角坐标系上，圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，直线 $y = a (x + 1)$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $a \in (0 ， 1)$ ，则当 $△ A B C$ 的面积最大时， $a =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 设 $a = 1.1$ ， $b = e^{0.1}$ ， $c = \frac{10}{9}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $α$ 经过点B、D，平面 $β$ 经过点A、 $D_{1}$ ，当平面 $α 、 β$ 分别截正方体所得截面面积最大时，平面 $α 、 β$ 所成的锐二面角大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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二、多选题

9. 在平面直角坐标系中，已知点 $O (0 ， 0) ， \vec{O A} = (1 ， 2) ， \vec{O B} = (3 ， 1)$ ，则（）

A、 $| \vec{A B} | = \sqrt{5}$ B、 $△ A O B$ 是直角三角形 C、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(1 ， \frac{1}{3})$ D、与 $\vec{O B}$ 垂直的单位向量的坐标为 $(- \frac{\sqrt{10}}{10} ， \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ 或 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{s i n x} + c o s x ， x \in (0 ， π)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有一个零点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 有两个极值点 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = a$ ，则 $x_{1} + x_{2} < π$

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11. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $E (0 ， b)$ ， $A (m ， n)$ 为椭圆C上一点， $m \neq 0$ ，点 $B ， A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $E A ， E B$ 分别与 $x$ 轴交于 $M ， N$ 两点，则（）

A、 $| A E |$ 的最大值为 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ B、直线 $E A ， E B$ 的斜率乘积为定值 C、若 $y$ 轴上存在点 $P$ ，使得 $∠ M P O = ∠ P N O$ ，则 $P$ 的坐标为 $(0 ， a)$ 或 $(0 ， - a)$ D、直线 $A N$ 过定点

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12. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $x^{3} + y^{3} = x - y$ ，则（）

A、 $x + y \geq \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}} - 1$ B、 $x + y \leq \sqrt{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}$ C、 $x^{2} + y^{2} < 1$ D、 $x^{2} + y^{2} > \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (X > a) = P (X < a)$ ，则 $a =$ ．

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14. 写出一个满足下列条件的正弦型函数， $f (x) =$ ．
①最小正周期为 $π$ ；② $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；③ $\forall x \in R ， | f (x) | \leq 2$ 成立．

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15. 将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为．

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16. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，椭圆的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $A (m ， n)$ 为椭圆上一点且 $m > 0 ， n > 0$ ，过A作椭圆E的切线l，并分别交 $x = 2 、 x = - 2$ 于C、D点．连接 $C F_{1} 、 D F_{2}$ ， $C F_{1}$ 与 $D F_{2}$ 交于点E，并连接 $A E$ ．若直线l， $A E$ 的斜率之和为 $\frac{3}{2}$ ，则点A坐标为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是以d为公差的等差数列， $d \neq 0 ， S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和．

(1)、若 $S_{6} - S_{3} = 6 ， a_{3} = 1$ ，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n}}$ 中的部分项组成的数列 ${a_{m_{n}}}$ 是以 $a_{1}$ 为首项，4为公比的等比数列，且 $a_{2} = 4 a_{1}$ ，求数列 ${m_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知 $△ A B C$ 中角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知 $(1 - s i n C) (1 - c o s 2 B) = s i n 2 B c o s C ， a = 2 c = 2$ ．

(1)、证明： $C = 2 B - \frac{π}{2}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $∠ B A D = ∠ B A C = ∠ C A D = 9 0^{∘}$ ， $A C = A D$ ， $A B$ 与面 $B C D$ 的所成角为 $4 5^{∘}$ ．

(1)、若四面体 $A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、设点 $M$ 在面 $B C D$ 中， $∠ A B M = 4 5^{∘}$ ， $∠ A C M = 3 0^{∘}$ ，过 $M$ 作 $C D$ 的平行线，分别交 $B C ， B D$ 于点 $H ， F$ ，求面 $A F H$ 与面 $A C D$ 所成夹角的余弦值．

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20. 大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽工程．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为 $B S 3$ 的渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：
样本号 $i$
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
水库水位 $x_{i} / m$
75.69
75.74
75.77
75.78
75.81
75.85
75.67
75.87
75.9
75.93
758.01
$B S 3$ 渗压计管内水位 $y_{i} / m$
72.88
72.90
72.92
72.92
72.93
72.94
72.94
72.95
72.96
72.98
729.32
并计算得 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 57457.98$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i}^{2} = 53190.77$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} y_{i} = 55283.20$ ．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{240.6} \approx 15.51$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\bar{y} = \hat{b} \bar{x} + \hat{a}$ ．

(1)、估计该水库中 $B S 3$ 号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；

(2)、求该水库 $B S 3$ 号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；

(3)、某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为 $76 m$ ．利用以上数据给出此时 $B S 3$ 号渗压计管内水位的估计值．

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21. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $(\sqrt{5} ， 0)$ ，右焦点到双曲线的渐近线的距离为 $1$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A (- 2 ， 1) ， B (2 ， 1)$ ，点 $C$ 在线段 $A B$ 上（不含端点），过点 $C$ 分别作双曲线两支的切线，切点分别为 $P ， Q$ ．连接 $P Q$ ，并过 $P Q$ 的中点 $F$ 分别作双曲线两支的切线，切点分别为 $D ， E$ ，求 $△ D E F$ 面积的最小值．

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22. 已知 $f (x) = a e^{x} - a e^{- x} - 2 x$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 单调区间；

(2)、当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $m > n$ ， $m ， n \in N^{*}$ ，证明： $l n \frac{m}{n} - \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{k} < \frac{m - n}{2 m n}$ ．

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样本号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
水库水位 $x_{i} / m$	75.69	75.74	75.77	75.78	75.81	75.85	75.67	75.87	75.9	75.93	758.01
$B S 3$ 渗压计管内水位 $y_{i} / m$	72.88	72.90	72.92	72.92	72.93	72.94	72.94	72.95	72.96	72.98	729.32