云南省昭通市2023届高三下学期数学2月诊断性监测试卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 3}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 3}$

查看试题解析
2. $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、0 D、-1

查看试题解析
3. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则谷雨日影长为（）

A、3.5尺 B、4.5尺 C、5.5尺 D、6.5尺

查看试题解析
4. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $\vec{B C} = 2 \vec{B E}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D E}$ 的值为（）

A、-4 B、-3 C、0 D、3

查看试题解析
5. 2022年11月初，新冠疫情突袭昭通市鲁甸县，昭通市统一指挥、众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒.现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人员不在同一组的分配方案有（）

A、8种 B、10种 C、12种 D、14种

查看试题解析
6. $t a n 87 ° + t a n 48 ° - t a n 87 ° t a n 48 °$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

查看试题解析
7. 已知三棱锥 $P - A B C$ 所有的顶点都在球 $O$ 的表面上，若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 120 °$ ，且三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为 $2 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{400}{9} π$ B、 $\frac{400}{27} π$ C、 $\frac{1600}{9} π$ D、 $\frac{1600}{27} π$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x) = \frac{x - b}{e^{x}}$ ，且 $a = e^{b} = l n c$ ，则（）

A、 $f (a) < f (b) < f (c)$ B、 $f (b) < f (c) < f (a)$ C、 $f (a) < f (c) < f (b)$ D、 $f (c) < f (b) < f (a)$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = s i n (3 x + \frac{π}{4}) + 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个周期为 $\frac{2}{3} π$ B、直线 $x = \frac{π}{12}$ 是 $y = f (x)$ 的一条对称轴 C、点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是 $y = f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递减

查看试题解析
10. 双曲线具有如下光学性质：如图1， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线的左、右焦点，从右焦点 $F_{2}$ 发出的光线 $m$ 交双曲线右支于点 $P$ ，经双曲线反射后，反射光线 $n$ 的反向延长线过左焦点 $F_{1}$ .若双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ n$ ，则 $| P F_{1} | | P F_{2} | = 12$ B、点 $F_{2}$ 到 $C$ 的渐近线的距离为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $n$ 过点 $M (8 ， 5)$ ，光由 $F_{2} \to P \to M$ 所经过的路程为13 D、射线 $n$ 所在直线的斜率为 $k$ ，则 $| k | \in [0 ， \sqrt{3})$

查看试题解析
11. 如图，已知正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 的棱长为2，点 $E$ 是 $A_{1} B$ 的中点，点 $P$ 是线段 $D_{1} E$ 上的一动点，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} C ⊥ D_{1} P$ B、三棱锥 $B_{1} - A C D_{1}$ 的内切球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、三棱锥 $P - B C_{1} D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ D、直线 $C P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的最大值为 $\frac{π}{4}$

查看试题解析
12. 若过 $y$ 轴上一点 $P (0 ， m)$ 最多可作出 $n (n \in N^{*})$ 条直线与函数 $f (x) = x e^{x}$ 的图象相切，则（）

A、 $n$ 可以取到3 B、 $m + n < 3$ C、当 $n = 1$ 时， $m$ 的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{4}{e^{2}})$ D、当 $n = 2$ 时，存在唯一的 $m$ 值

查看试题解析

三、填空题

13. 某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：
8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.
则这组数据的第70百分位数是.

查看试题解析
14. 曲线 $y = \frac{x}{x + 1}$ 在点 $(1 ， \frac{1}{2})$ 处的切线方程为．

查看试题解析
15. 已知直线 $l ： k x - y - k + 1 = 0$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，以线段 $A B$ 为直径作圆，该圆的面积的取值范围为.

查看试题解析
16. 已知椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，直线 $l$ 与椭圆在第四象限交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点， $O$ 是坐标原点，椭圆的左顶点为 $P$ ，且 $| P A | = | P B |$ ， $| O N | = \sqrt{2} | O M |$ ，则直线 $l$ 的方程为.

查看试题解析

四、解答题

17. 设 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5} + 5 a_{9} = 0$ ， $a_{4} = a_{5} a_{7}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求使 $S_{n} < a_{n}$ 的 $n$ 的最大值.

查看试题解析
18. 已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $s i n A = \sqrt{3} s i n B$ .从① $2 a = \sqrt{3} c$ ， ② $\frac{\sqrt{3}}{3} s i n A s i n C - c o s B c o s C = \frac{1}{2}$ ， ③ $C = \frac{π}{2}$ ，这三个条件中任选一个作为已知条件.

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、点 $D$ 在线段 $B A$ 的延长线上，且 $∠ A C D = \frac{π}{4}$ ，若 $A B = 2$ ，求 $△ A C D$ 的面积.

查看试题解析
19. 为了满足同学们多元化的需求，某学校决定每周组织一次社团活动，活动内容丰富多彩，有书法、象棋、篮球、舞蹈、古风汉服走秀、古筝表演等.同学们可以根据自己的兴趣选择项目参加，为了了解学生对该活动的喜爱情况，学校采用给活动打分的方式（分数为整数，满分100分），在全校学生中随机选取1200名同学进行打分，发现所给数据均在 $[40 ， 100]$ 内，现将这些数据分成6组并绘制出如图3所示的样本频率分布直方图.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、请将样本频率分布直方图补充完整，并求出样本的平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、从这1200名同学中随机抽取 $\frac{1}{10}$ ，经统计其中有男同学70人，其中40人打分在 $[70 ， 100]$ ，女同学中20人打分在 $[70 ， 100]$ ，根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并在犯错概率不超过0.100的条件下，能否认为对该活动的喜爱程度与性别有关（分数在 $[70 ， 100]$ 内认为喜欢该活动）？

喜欢
不喜欢
合计
男同学
女同学
合计

查看试题解析
20. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $B C ⊥ A O$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，且 $O A = 1$ ，则在线段 $A D$ 上是否存在一动点 $E$ ，使得二面角 $E - B C - D$ 的大小为45°？若存在，请找出点 $E$ 的位置；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x}}{x} - 1$ （ $x > 0$ ， $a \neq 0$ ）， $g (x) = l n x - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 1$ 时，不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上一点， $P F$ 与 $y$ 轴垂直， $Q$ 为 $y$ 轴上一点，且 $P Q ⊥ O P$ ，且 $| F Q | = 4$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $O A$ ， $O B$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 的另一交点分别为 $M$ ， $N$ ，求 $△ O M N$ 与 $△ O A B$ 的面积之比的最大值.

查看试题解析

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	喜欢	不喜欢	合计
男同学
女同学
合计