云南省昆明市2023届“三诊一模”高三数学复习教学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {x | l n x < 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${0 ， 1 ， 2 ， 3}$

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2. 欧拉公式： $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ 将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数 $e^{3 i}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：
根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（）

A、该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致 B、该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致 C、该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差 D、该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差

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4. 已知 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 均为等差数列， $a_{1} = 1$ ， $b_{1} = 2$ ， $a_{10} + b_{10} = 39$ ，则数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前50项的和为（）

A、5000 B、5050 C、5100 D、5150

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5. 已知直线 $x c o s θ + y s i n θ = 1 (θ \in R)$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $∠ A O B =$ （）

A、 $θ$ B、 $2 θ$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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6. 函数 $y = s i n x l n (e^{x} + e^{- x})$ 在区间 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 为偶函数且 $f (x) + f (x + 2) = 3$ ， $g (x) + g (10 - x) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{9} [f (i) + g (i)] =$ （）

A、21 B、22 C、 $\frac{45}{2}$ D、 $\frac{47}{2}$

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8. 某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位： $c m^{3}$ ）的最大值为（）

A、 $54 (10 - 7 \sqrt{2})$ B、8 C、 $\frac{27}{4}$ D、9

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二、多选题

9. 已知 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c} (\vec{c} \neq \vec{0})$ ，则下列正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ B、若 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、以 $O A$ ， $O C$ 为邻边的平行四边形的面积为 $| \vec{b} \cdot \vec{c} |$ D、若 $(\vec{a} - \vec{c}) ⊥ (\vec{b} - \vec{c})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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10. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过原点的直线 $l$ 与双曲线交于 $A ， B$ 两点，若四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 为矩形且 $| A F_{1} | = 2 | A F_{2} |$ ，则下列正确的是（）

A、 $| A B | = 2 \sqrt{5} a$ B、 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、矩形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积为 $4 a^{2}$ D、 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{4}{3}$

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11. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P B ⊥ B C$ ，记 $∠ P C A = α$ ， $∠ P C B = β$ ， $∠ A C B = γ$ ，则下列正确的是（）

A、 $c o s α < c o s β$ B、 $c o s β < c o s γ$ C、 $c o s γ = \frac{c o s β}{c o s α}$ D、若 $t a n α = s i n γ$ ，则 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成的角为 $45 °$

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12. 对于函数 $f (x)$ ，若存在两个常数 $a$ ， $b$ ，使得 $f (a + x) \cdot f (a - x) = b$ ，则称函数 $f (x)$ 是“ $J$ 函数”，则下列函数能被称为“ $J$ 函数”的是（）

A、 $f (x) = e^{x}$ B、 $f (x) = \sqrt{\frac{2 - x}{x}}$ C、 $f (x) = 3 x - 1$ D、 $f (x) = t a n x$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = 2 x + n c o s x$ 在定义域 $R$ 上不单调，则正整数 $n$ 的最小值是．

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14. 一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为．

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15. 已知 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $A (\frac{π}{2} ， 1)$ ， $B (\frac{11 π}{8} ， \sqrt{2})$ 为 $y = f (x)$ 的图象上两点，则 $f (2 π) =$ ．

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，经过抛物线上一点 $P$ ，作斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线交 $C$ 的准线于点 $Q$ ， $R$ 为准线上异于 $Q$ 的一点，当 $∠ P Q R = ∠ P Q F$ 时， $| P F | =$ ．

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四、解答题

17. “不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点 $A ， B ， C$ 都在圆周上，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $c = 4 \sqrt{5} c m$

(1)、求 $s i n C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $8 c m^{2}$ ，且 $a > c$ ，求 $△ A B C$ 的周长

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18. 某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量 $y$ （单位：万辆）的散点图如下：
记年份代码为 $x (x = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$
参考数据：
$\bar{y}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{4}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} y_{i}$
34
55
979
657
2805
参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、根据散点图判断，模型① $y = a + b x$ 与模型② $y = c + d x^{2}$ ，哪一个更适宜作为年销售量 $y$ 关于年份代码 $x$ 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(3)、预测2023年该公司新能源汽车销售量．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且满足 $(n - 1) S_{n} + 2 n a_{n + 1} = 0$

(1)、设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，证明： ${b_{n}}$ 是等比数列

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{4^{n + 2} \cdot a_{n + 2}^{2}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$

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20. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B ⊥ A D$

(1)、从三个条件：① $A C ⊥ B D$ ；② $∠ A D C = 120 °$ ；③ $B D = 2 A D$ 中任选一个作为已知条件，证明： $B C ⊥ D C_{1}$ ；

(2)、在（1）的前提下，若 $A B = \sqrt{3} A A_{1}$ ， $P$ 是棱 $B B_{1}$ 的中点，求平面 $P D C_{1}$ 与平面 $P D D_{1}$ 所成角的余弦值．

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21. 已知过点 $(1 ， e)$ 的椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，其中 $e$ 为椭圆 $E$ 的离心率．

(1)、求 $E$ 的标准方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A ， C$ 两点，以 $O A$ ， $O C$ 为邻边作平行四边形 $O A B C$ ，且点 $B$ 恰好在 $E$ 上，试问：平行四边形 $O A B C$ 的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{l n x}{x} - 1$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{x}$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ （其中 $x_{1} < x_{2}$ ），且不等式 $x_{1} e^{x_{1}} + 2 x_{2} e^{x_{2}} > m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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$\bar{y}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{4}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} y_{i}$
34	55	979	657	2805