湘豫名校联考2023届高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x \in R | | x - 2 | \geq 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(1 ， 3]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[1 ， 3)$ D、 $(1 ， 3)$

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2. 若复数 $z = \frac{1 - a i}{1 + i}$ （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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3. 在递增等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 4$ ，且 $3 a_{5}$ 是 $a_{6}$ 和 $a_{7}$ 的等差中项，则 $a_{10} =$ （）

A、256 B、512 C、1024 D、2048

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4. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) + f (2 - x) = 0$ ， $f (x + 1)$ 为偶函数且 $f (1) = 1$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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5. 多年来，网络春晚一直致力于为本土市民“圆春晚梦”，得到了广大市民的认可．某市2023年网络春晚海选如期举行，该活动总共分为海选、复赛、决赛三个阶段，参赛选手通过决赛后将参加该市2023年网络春晚．已知甲、乙、丙三人组成一个小组，假设在每一轮比赛中，甲、乙、丙通过的概率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ ，假设他们之间通过与否互不影响，则该小组三人同时进入决赛的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A是双曲线C的左顶点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q} = - 4 a^{2}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、2

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7. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \leq 3 ， \\ x + y \geq 0 ， \\ x - y + 2 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $| x - 2 y |$ 的最大值是（）

A、5 B、6 C、7 D、9

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8. 已知某离散型随机变量X的分布列如下：
x
-1
0
1
2
P
a
b
c
$\frac{1}{3}$
若 $E (X) = \frac{3}{4}$ ， $P (X \geq 1) = \frac{7}{12}$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{19}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

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9. 为弘扬中国优秀传统文化，某地教育局决定举办“经典诵读”知识竞赛．竞赛规则：参赛学生从《红楼梦》《论语》《史记》这3本书中选取1本参加有关该书籍的知识竞赛，且同一参赛学校的选手必须全部参加3本书籍的知识竞赛．某校决定从本校选拔出的甲、乙等5名优秀学生中选出4人参加此次竞赛．因甲同学对《论语》不精通，学校决定不让他参加该书的知识竞赛，其他同学没有限制，则不同的安排方法有（）种．

A、128 B、132 C、156 D、180

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10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $y = [x]$ 称为“高斯函数”，例如： $[- 2.5] = - 3$ ， $[2.7] = 2$ ．已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n + 2} + 2 a_{n} = 3 a_{n + 1}$ ，若 $b_{n} = [l o g_{2} a_{n + 1}]$ ， $S_{n}$ 为数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和，则 $S_{2023} =$ （）

A、 $\frac{2022}{2023}$ B、 $\frac{2024}{2023}$ C、 $\frac{2023}{2024}$ D、 $\frac{2025}{2024}$

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11. 党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和深远历史意义的三件大事之一．某企业积极响应国家号召，对某经济欠发达地区实施帮扶，投资生产A产品．经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产x万件，需可变成本 $p (x)$ 万元，当产量不足50万件时， $p (x) = \frac{1}{120} x^{3} + 60 x$ ；当产量不小于50万件时， $p (x) = 101 x + \frac{6400}{x} - 1360$ ．每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生产的A产品可以全部销售完．欲使得生产该产品能获得最大利润，则产量应为（）

A、40万件 B、50万件 C、60万件 D、80万件

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12. 下列结论正确的是（）

A、 $l o g_{2021} 2022 < l o g_{2022} 2023 < \frac{2023}{2022}$ B、 $l o g_{2022} 2023 < l o g_{2021} 2022 < \frac{2023}{2022}$ C、 $\frac{2023}{2022} < l o g_{2022} 2023 < l o g_{2021} 2022$ D、 $\frac{2023}{2022} < l o g_{2021} 2022 < l o g_{2022} 2023$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， t)$ ， $\vec{b} = (2 ， t)$ ， $\vec{c} = \vec{a} - \frac{11}{13} \vec{b}$ ，若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ， $t > 0$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影是．

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14. 在 ${(a \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{6}$ 的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则 $a =$ ．

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15. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = P B = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 6$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的体积为．

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16. 设过点 $(2 ， - 1)$ 的直线l与椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于M，N两点，已知点 $A (0 ， 1)$ ，若直线AM与直线AN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} + k_{2} =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s (x - \frac{π}{2}) c o s x + 2 s i n^{2} x$ ，在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $f (A) = 3$ ．

(1)、求角A；

(2)、若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．

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18. 为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组： $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图：
参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；

(2)、在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）

优秀
非优秀
合计
男
30
女
50
合计
100

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $B C ⊥ A B$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $P D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(2)、线段 $P B$ 上是否存在一点M，使得 $C M ⊥$ 平面 $P B D$ ？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的一个动点P到抛物线的焦点F的最小距离为1．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、过焦点F的直线l交抛物线C于 $A ， B$ 两点，M为抛物线上的点，且 $A M ⊥ B M$ ， $M F ⊥ A B$ ，求 $△ A B M$ 的面积．

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x + x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求证： $f (x) < e^{x}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆C的圆心坐标为 $(- 2 ， - 2)$ ，且过原点O．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ (c o s θ + s i n θ) = - 1$ ．

(1)、求圆C的参数方程及直线l的直角坐标方程；

(2)、若直线l与圆C交于 $A ， B$ 两点，点P在圆C上运动，求 $△ P A B$ 面积的最大值．

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23. 若函数 $f (x) = | x - t | - 2 | x + 3 | (t > 0)$ 的最大值为5．

(1)、求t的值；

(2)、已知a>0，b>0，且a+2b=t，求 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

x	-1	0	1	2
P	a	b	c	$\frac{1}{3}$

	优秀	非优秀	合计
男		30
女			50
合计			100