天津市和平区2023届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = A ∪ B = {x \in N ∣ x \leq 7} ， A ∩ (∁_{U} B) = {1 ， 3 ， 5 ， 7}$ ，则 $B$ 中元素个数为（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 已知a是实数，则“ $a < - 1$ ”是“ $a + \frac{1}{a} < - 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数y=lncosx（- $\frac{π}{2}$ ＜x $\frac{π}{2}$ ）的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在 $[40 ， 100]$ 内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法错误的是（）

A、频率分布直方图中第三组的频数为15人 B、根据频率分布直方图估计样本的众数为75分 C、根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分 D、根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分

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5. 已知 $a = l o g_{0.2} 0.3 ， b = l o g_{0.3} 0.2 ， c = l o g_{2} 3$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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6. 将函数 $f (x) = s i n 2 x$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $| g (x) |$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 C、 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{24} ， \frac{π}{24})$ 上单调递增 D、 $g (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5 π}{24} ， 0)$ 对称

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7. 抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，其准线与双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的渐近线相交于 $A ､ B$ 两点，若 $△ A B F$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、8 D、4

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8. 为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）

A、 $\frac{2 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} c m$ B、 $\frac{4 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} c m^{3}$ C、 $2 (5 + 3 \sqrt{3}) π c m^{3}$ D、 $\frac{8 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} c m^{3}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \ln x | ， 0 < x \leq e \\ f (2 e - x) ， e < x < 2 e \end{matrix}$ ，设方程 $f (x) = 2^{- x} + b (b \in R)$ 的四个实根从小到大依次为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $e^{2} < x_{3} x_{4} < {(2 e - 1)}^{2}$ C、 $0 < (2 e - x_{3}) (2 e - x_{4}) < 1$ D、 $1 < x_{1} x_{2} < e^{2}$

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二、填空题

10. 设 $i$ 为虚数单位，复数 $\frac{3 - i}{1 + i} =$ .

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11. $\frac{1}{x^{3}} \cdot {(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中常数项为.

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12. 直线 $l ： y = x$ 与圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = a^{2} (a > 0)$ 交 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ A B C$ 为等边三角形，则 $a$ 的值为．

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13. 先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是1､2､3､4､5､6），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x､y，记事件A为“ $x + y$ 为偶数”，事件B为“x､y中有偶数且 $x \neq y$ ”，则概率 $P (A) =$ ， $P (B | A) =$ .

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14. 若实数x、y满足 $x^{2} + y^{2} + x y = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值是．

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15. 已知四边形 $A B C D ， \vec{D C} = t \vec{A B} ， A B = 6 ， A D = 4 ， ∠ D A B = 6 0^{∘}$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{C D} = - 6$ ，点 $E$ 为线段 $B D$ ，上一点，且 $\vec{A E} = (1 + λ) \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{C B}$ ，则 $λ =$ ，过 $E$ 作 $E F$ ∥ $B C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $\vec{F D} \cdot \vec{F C} =$ .

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三、解答题

16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $(b c o s C + c c o s B) t a n A = - \sqrt{3} a$ .

(1)、求 $A$ 的大小：

(2)、若 $a = \sqrt{7} ， b = 1$ ，
（i）求 $△ A B C$ 的面积；
（ii）求 $c o s (2 C - A)$ .

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17. 在如图所示的几何体中， $E A ⊥$ 平面 $A B C ， D B ⊥$ 平面 $A B C$ ； $A C ⊥ B C ， A C = B C = B D = 2 A E = 2 ， M$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $C M ⊥ E M$ ；

(2)、求直线 $E M$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $C M E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 为首项 $a_{1} = 1$ 的等比数列，且 $a_{n} ， 3 a_{n + 1} ， 9 a_{n + 2}$ 成等差数列；数列 ${b_{n}}$ 为首项 $b_{1} = 1$ 的单调递增的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{1} ， S_{2} ， S_{4} + 3$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{(- 1)^{i} (2 b_{i} + 3)}{b_{i} b_{i + 1}} ， (n \in N^{*})$ ；

(3)、数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ，记 $G_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 ${a_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < \frac{G_{n}}{2}$ .

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $A$ 是椭圆与 $x$ 轴负半轴的交点，点 $B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且直线 $A B$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = \frac{12}{7}$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知斜率大于0的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 有唯一的公共点 $M$ ，过点 $A$ 作直线 $l$ 的平行线交椭圆 $C$ 于点 $P$ ，若 $△ M O P$ 的面积为 $\frac{3}{4}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x ， g (x) = l n (x + 2) - a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数， $a \in R$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 有极小值 $f (1)$ ，求 $a$ ；

(2)、证明： $f^{'} (x) > g (x)$ 恒成立；

(3)、证明： $l n 2 + {(l n \frac{3}{2})}^{2} + {(l n \frac{4}{3})}^{3} + \dots + {(l n \frac{n + 1}{n})}^{n} < \frac{e}{e - 1}$ .

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