天津市和平区2023年九年级下学期中考一模数学试卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $t a n 30 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图所示的几何体是由四个小正方体组合而成的，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图所示的几何体，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，为测楼房 $B C$ 的高，在距楼房50米的 $A$ 处，测得楼顶的仰角为 $a$ ，则楼房 $B C$ 的高为（）

A、 $50 t a n a$ 米 B、 $\frac{50}{t a n a}$ 米 C、 $50 s i n a$ 米 D、 $\frac{50}{s i n a}$ 米

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6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上， $A C$ 与 $B D$ 相交于点E，连接 $A B ， C D$ ，则 $△ A B E$ 与 $△ C D E$ 的周长比为（）

A、1：4 B、4：1 C、1：2 D、2：1

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7. 已知甲，乙两地相距 $s$ （单位： $km$ ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 $t$ （单位： $h$ ）关于行驶速度 $v$ （单位： $km / h$ ）的函数图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（）

A、 $x^{2} - 60 x - 864 = 0$ B、 $x (x + 60) = 864$ C、 $x^{2} - 60 x + 864 = 0$ D、 $x (x + 30) = 864$

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9. 正比例函数 $y = x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象有一个交点的纵坐标是2，当 $- 3 < x < - 1$ 时，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{2}{3} < y < - \frac{1}{3}$ B、 $- 4 < y < - \frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3} < y < \frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3} < y < 4$

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10. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 20 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转50°得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，以下结论中错误的是（）

A、 $C^{'} B^{'} ⊥ B B^{'}$ B、 $B C = B^{'} C^{'}$ C、 $A C ∥ C^{'} B^{'}$ D、 $∠ A B B^{'} = ∠ A C C^{'}$

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11. 如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为 $2$ 的小正六边形 $A B C D E F$ 的中心 $O$ 重合，且与边 $A B$ ， $C D$ 相交于点 $G$ ， $H$ ．图中阴影部分的面积记为 $S$ ，三条线段 $G B$ ， $B C$ ， $C H$ 的长度之和记为 $l$ ，在大正六边形绕点 $O$ 旋转过程中， $S$ 和 $l$ 的值分别是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ ， $4$ B、 $\sqrt{3}$ ， $6$ C、 $4$ ， $\sqrt{3}$ D、 $S$ 和 $l$ 的值不能确定

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表：
$x$
…
$\begin{array}{l} - 3 \end{array}$
$x_{1}$
$\begin{array}{l} - 1 \end{array}$
$x_{2}$
$x_{3}$
1
…
$y$
…
$m$
0
$k$
0
$n$
$m$
…
其中 $- 3 < x_{1} < - 1 < 0 < x_{2} < x_{3} < 1$ ， $n < m$ ．有下列结论：① $a b c < 0$ ；② $3 a + c > 0$ ；③ $\frac{c - m}{a} = - 3$ ；④当 $t \leq x \leq 1$ 时， $y$ 有最大值为 $m$ ，最小值为 $k$ ，此时 $t$ 的取值范围是 $- 3 \leq t \leq - 1$ ．其中，正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 如图是一副普通扑克牌中的13张黑桃牌，将它们洗匀后正面向下放在桌子上，从中任意抽取一张，则抽出的牌点数小于9的概率为．

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14. 在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为 $5$ 的概率为．

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15. 如图， $△ A O B$ 的顶点 $O (0 ， 0)$ ，顶点 $A$ 在第一象限，顶点 $B$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $C$ 为 $O A$ 上的一点， $A C ： O C = 1 ： 2$ ，过 $C$ 作 $C D ∥ O B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $C D = 2$ ，则 $B$ 点的坐标为．

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16. 已知直线 $y = k x + b$ （ $k$ ， $b$ 为常数， $k \neq 0$ ）与直线 $y = 2 x$ 平行，且与直线 $y = 3 x + 4$ 交于 $y$ 轴的同一点，则此一次函数的表达式为．

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17. 如图，圆内接四边形 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A D C$ ，过点 $B$ 作 $B E ∥ C D$ 交 $D A$ 的延长线于点 $E$ ，若 $A D = 2$ ， $D C = 3$ ，则 $△ B D E$ 的面积为．

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三、解答题

18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $⊙ O$ 上的点 $A$ ，圆心 $O$ 均在格点上，

(1)、 $O A =$ ；

(2)、若点 $C$ 是 $⊙ O$ 上的一个动点，连接 $A C$ ，将 $A C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $C B$ ，连 $O B$ ，当线段 $O B$ 最长时，点 $C$ 的对应点为点 $C^{'}$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B^{'}$ ，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $C^{'}$ ， $B^{'}$ ，并简要说明点 $C^{'}$ ， $B^{'}$ 的位置是如何找到的（不要求证明）．

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19. 解方程：

(1)、解方程： ${(x - 3)}^{2} = 2 x (3 - x)$ ；

(2)、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 2 m + 5 = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，并且 $x_{1} \neq x_{2}$ ．
①求实数 $m$ 的取值范围；
②满足 $x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} = m^{2} + 6$ ，求 $m$ 的值．

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20. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数， $a \neq 0$ ）的顶点坐标为 $(1 ， 4)$ ，与 $x$ 轴交于点 $A (3 ， 0)$ 和 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求二次函数解析式和点 $C$ 的坐标；

(2)、一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为；

(3)、当 $0 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的取值范围是．

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21. 已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点， $A D$ 和过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ， $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ．

(1)、如图①，求证： $A C$ 平分 $∠ D A B$ ；

(2)、如图②，过 $B$ 作 $B F ∥ A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ，若 $A C = 4 \sqrt{5}$ ， $D C = 4$ ，求 $C F$ 和 $⊙ O$ 半径的长．

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22. 为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点

A

处测得河北岸的树

H

恰好在

A

的正北方向．测量方案与数据如下表：

课题	测量河流宽度
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案示意图
说明	点B，C在点A的正东方向	点B，D在点A的正东方向	点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向
测量数据	$B C = 54.8 m$ ， $∠ A B H = 74 °$ ， $∠ A C H = 37 °$ ．	$B D = 20 m$ ， $∠ A B H = 74 °$ ， $∠ B C D = 37 °$ ．	$B C = 84.8 m$ ， $∠ A B H = 74 °$ ， $∠ A C H = 37 °$ ．

(1)、第小组的数据无法计算出河宽；

(2)、请选择其中一个方案及其数据求出河宽（结果保留小数点后一位）．参考数据：

s i n 74 ° \approx 0.96

，

c o s 74 ° \approx 0.28

，

t a n 74 ° \approx 3.49

，

s i n 37 ° \approx 0.60

，

c o s 37 ° \approx 0.80

，

t a n 37 ° \approx 0.75

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23. 共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向 $3 ∼ 10 k m$ 的出行市场，现有 $A$ ， $B$ 两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费 $y$ 元与骑行时间 $x m i n$ 之间的对应关系，其中 $A$ 品牌收费方式对应 $y_{1}$ ， $B$ 品牌的收费方式对应 $y_{2}$ ．
请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、填表：
骑行时间/min
10
20
25
$A$ 品牌收费/元
8
$B$ 品牌收费/元
8

(2)、填空：
① $B$ 品牌10分钟后，每分钟收元
②如果小明每天早上需要骑行 $A$ 品牌或 $B$ 品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 $300 m / m i n$ ，小明家到工厂的距离为 $9 k m$ ，那么小明选择品牌共享电动车更省钱；
③直接写出两种品牌共享电动车收费相差3元时 $x$ 的值是．

(3)、直接写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数解析式．

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24. 在一次数学兴趣小组活动中，小明将两个形状相同，大小不同的三角板 $A O B$ 和三角板 $D E B$ 放置在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ， $A (0 ， 3)$ ， $∠ A B O = 30 °$ ， $B E = 3$ ．

(1)、如图①，求点 $D$ 的坐标；

(2)、如图②，小明同学将三角板 $D E B$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转一周．
①若点 $O$ ， $E$ ， $D$ 在同一条直线上，求点 $D$ 到 $x$ 轴的距离；
②连接 $D O$ ，取 $D O$ 的中点 $G$ ，在旋转过程中，点 $G$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值 ▲ （直接写出结果即可）．

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25. 已知： $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， - 1)$ ， $B (0 ， - 3)$ ．

(1)、求函数解析式；

(2)、平移抛物线使得新顶点为 $P (m ， n)$ （m＞0）．
①倘若 $S_{△ O P B} = 3$ ，且在 $x = k$ 的右侧，两抛物线都上升，求 $k$ 的取值范围；
② $P$ 在原抛物线上，新抛物线与 $y$ 轴交于 $Q$ ， $∠ B P Q = 12 0^{∘}$ 时，求 $P$ 点坐标．

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$x$	…	$\begin{array}{l} - 3 \end{array}$	$x_{1}$	$\begin{array}{l} - 1 \end{array}$	$x_{2}$	$x_{3}$	1	…
$y$	…	$m$	0	$k$	0	$n$	$m$	…

骑行时间/min	10	20	25
$A$ 品牌收费/元		8
$B$ 品牌收费/元		8