河北省九地市2023年九年级摸底练习数学试题

试卷更新日期：2023-04-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2023的相反数是（）

A、 $- 2023$ B、 $| 2023 |$ C、 $- \frac{1}{2023}$ D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700万，其中5700万用科学记数法可表示为（）

A、 $5.7 \times 10^{6}$ B、 $57 \times 10^{6}$ C、 $5.7 \times 10^{7}$ D、 $0.57 \times 10^{8}$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{- 2} = - a^{2}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$

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4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若 $∠ 1 = 19 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $41 °$ B、 $51 °$ C、 $42 °$ D、 $49 °$

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5. 下列运算或化简正确的是（）

A、 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} + 3 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

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6.
如图所示几何体的主视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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7. 式子 $2 a - a \div b$ 可以化为（）

A、 $\frac{a}{b}$ B、 $- \frac{a}{b}$ C、 $2 a - \frac{a}{b}$ D、 $2 a - \frac{b}{a}$

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8. 如图，快艇从点A处向正北方向航行到B处时，向右转60°航行到C处，再向左转40°继续航行，此时的航行方向在点C的（）

A、北偏东20° B、北偏西20° C、北偏东40° D、北偏西40°

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9. 已知点（﹣2，y₁），（3，y₂）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y₁ ， y₂的值的大小关系是（）

A、y₁＜y₂ B、y₁＞y₂ C、y₁＝y₂ D、不能确定

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10. 语句“ $x$ 的 $\frac{1}{3}$ 与 $x$ 的和超过2”可以表示为（）

A、 $\frac{x}{3} + x \leq 2$ B、 $\frac{x}{3} + x > 2$ C、 $\frac{x}{3} + x \geq 2$ D、 $\frac{3}{x} + x > 2$

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11. 连接正六边形不相邻的两个顶点，并将中间的六边形涂成黑色，制成如图所示的镖盘．将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在黑色区域的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12. 如图， $⊙ O$ 中，点C为弦 $A B$ 中点，连接 $O C ， O B$ ， $∠ O B C = 34 °$ ，点D是优弧 $\overset{⌢}{A D B}$ 上一点，则 $∠ A D B$ 度数为（）

A、54° B、56° C、58° D、60°

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13. 如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 $α$ 时，梯子顶端靠在墙面上的点 $A$ 处，底端落在水平地面的点 $B$ 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 $β$ ，已知 $\sin α = \cos β = \frac{3}{5}$ ，则梯子顶端上升了（）

A、1米 B、1.5米 C、2米 D、2.5米

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14. 如图， $P$ 为 $A B$ 上任意一点，分别以 $A P$ 、 $P B$ 为边在 $A B$ 同侧作正方形 $A P C D$ 、正方形 $P B E F$ ，设 $∠ C B E = α$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $A P - P B = C F$ B、 $△ A P F ≅ △ C P B$ C、 $A F ⊥ B C$ D、 $∠ A F P = α$

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15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的边 $B C$ 与 $x$ 轴平行， $A$ ， $B$ 两点纵坐标分别为 $4$ ， $2$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 经过 $A$ ， $B$ 两点，若 $A B = 4$ ，则 $k$ 值为（）

A、 $- 8 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $- 8$ D、 $- 6 \sqrt{3}$

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16. 如图，在矩形ABCD中，点E从点B开始，沿矩形的边 $B A - A D$ 运动， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，连接CE与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，连接OF，则OF长度的最大值是（）．

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题

17. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 1 + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转角 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，并使点 $C^{'}$ 落在 $A B$ 边上．

(1)、旋转角 $α$ 的度数是．

(2)、线段 $A B$ 所扫过部分的面积是为．（结果保留 $π$ ）

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19. 如图， $∠ M O N = 40 °$ ，以 $O$ 为圆心， $4$ 为半径作弧交 $O M$ 于点 $A$ ，交 $O N$ 于点 $B$ ，分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ M O N$ 的内部相交于点 $C$ ，画射线 $O C$ 交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $O A$ 上一动点，连接 $B E$ ， $D E$ ．

(1)、 $∠ B O D$ 的度数是．

(2)、阴影部分周长的最小值为．

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三、解答题

20. 老师就式子 $3 \times □ + 9 - ○$ ，请同学们自己出问题并解答．

(1)、小磊的问题：若 $□$ 代表 $(- 2)^{2}$ ， $○$ 代表 $(- 3)^{3}$ ，计算该式的值．

(2)、小敏的问题：若 $□$ 代表 $\sqrt{5}$ ， $○$ 代表 $\sqrt{a}$ ，计算的结果是有理数，求有理数a的值．

(3)、小捷的问题：若 $3 \times □ + 9 - ○ < 4$ ，且 $□$ 和 $○$ 所代表的数是互为相反数，直接写出 $□$ 所代表的数的取值范围．

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21. 小丽与小霞两位同学解方程

3 (x - 3) = (x - 3)^{2}

的过程如下框：

小丽：

两边同除以 $(x - 3)$ ，得 $3 = x - 3$ ，

解得 $x = 6$ ．

小霞：

移项，得 $3 (x - 3) - (x - 3)^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$ ．

所以 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - 3 = 0$ ，

解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 0$ ．

(1)、你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若不正确请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

(2)、请结合上述题目总结：形如

a x^{2} = b x (a \neq 0)

的一元二次方程的一般解法．

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22. 某学校举行了诗词知识竞赛，甲乙两班各派15名同学参加，现对甲、乙两班同学的分数进行整理分析如下：
甲班15名同学的测试成绩（满分100分）统计如下：87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名同学的测试成绩（满分100分）统计如下：77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．

(1)、按如表分数段整理两班测试成绩
班级
70.5～75.5
75.5～80.5
80.5～85.5
85.5～90.5
90.5～95.5
95.5~100.5
甲
1
2
a
5
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
表中 $a =$ ；

(2)、补全甲班15名同学测试成绩的频数分布直方图；

(3)、两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
x
86
44.8
乙
86
88
y
36.7
表中 $x =$ ， $y =$ ．

(4)、你认为两班的测试成绩，较好的是 ▲ 班，为什么？

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23. 如图，已知 $A B$ 是半圆O的直径， $A B = 4$ ，点D是线段 $A B$ 延长线上的一个动点，直线 $D F$ 垂直于射线 $A B$ 于点D，在直线 $D F$ 上选取一点C（点C在点D的上方），使 $C D = O A$ ，将射线 $C D$ 绕点D逆时针旋转，旋转角为 $α (0 ° < α \leq 90 °)$ ．

(1)、若 $O D = 5$ ，求点C与点O之间距离的最小值；

(2)、当射线 $D C$ 与 $⊙ O$ 相切于点C时，求劣弧 $B C$ 的长度；

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24. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $C (1 ， 2) ， D (2 ， n)$ ．

(1)、直接写出不等式 $k x + b < \frac{m}{x}$ 的解集；

(2)、分别求出两个函数的解析式；

(3)、连接 $O D ， O C$ ，求 $△ C O D$ 的面积．

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25. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于点 $B$ ， $A$ ，顶点为 $P$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 过点 $A$ ．

(1)、直接写出点 $A$ ， $B$ 的坐标及 $c$ 的值；

(2)、若函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 在 $3 \leq x \leq 4$ 时有最大值为 $a + 2$ ，求 $a$ 的值；

(3)、当 $a < 0$ 时，连接 $A P$ ，过点 $A$ 作 $A P$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M$ ．设 $△$ $B M P$ 的面积为 $S$ ．直接写出 $S$ 关于 $a$ 的函数关系式．

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26. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{5}$ ，边长为2的正方形 $D E F G$ 的对角线交点与点C重合，点D在 $△$ ABC内部， $D G$ 与 $A C$ 交于点M，连接 $A D$ ， $B E$ ．

(1)、求证： $△ A C D ≅ △ B C E$ ；

(2)、当 $∠ A D C = 90 °$ 时，求 $A M$ 的长；

(3)、当点A、D、E三点在同一直线上时，直接写出 $A D$ 的长．

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班级	70.5～75.5	75.5～80.5	80.5～85.5	85.5～90.5	90.5～95.5	95.5~100.5
甲	1	2	a	5	1	2
乙	0	3	3	6	2	1

班级	平均数	众数	中位数	方差
甲	86	x	86	44.8
乙	86	88	y	36.7