河北省保定市2023年中考一模考试数学卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 若 $m \cdot m^{□} = m^{3}$ ，则“□”是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 下列图形中，称为扇形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列与 $- 1 - \frac{1}{2}$ 相乘等于1的是（）

A、 $- 1 - \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} - 1$ C、 $1 - \frac{1}{3}$ D、 $- 1 + \frac{1}{3}$

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4. 若二次根式 $\sqrt{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，将 $△ A B C$ 折叠，使点 $C$ 落在 $B C$ 边上 $C^{'}$ 处，展开后得到折痕 $l$ ，则 $l$ 是 $△ A B C$ 的（）

A、高 B、中线 C、中位线 D、角平分线

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6. 对于① $(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1$ ， ② $x - 2 x y = x (1 - 2 y)$ ，从左到右的变形，表述正确的是（）

A、都是乘法运算 B、都是因式分解 C、①是乘法运算，②是因式分解 D、①是因式分解，②是乘法运算

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7. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿着 $C E$ 裁剪得到一个四边形和一个三角形，设四边形 $A B C E$ 的外角和与 $△ C D E$ 的外角和分别为 $α ， β$ ，则（）

A、 $α - β$ B、 $α < β$ C、 $a = β$ D、无法比较 $α$ 与 $β$

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8. 如图，一个正方体骰子的六个面上分别标有1至6共六个数字，且相对面数字之和相同，将骰子按如图所示方式放置并按箭头方向无滑动翻转后停止在M处，则停止后骰子朝上面的数字为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. $α$ 射线的速度为光速的十分之一，若光速为 $3 \times 1 0^{8} m / s$ ，则 $α$ 射线的速度用科学记数法可表示为（）

A、 $3 \times 1 0^{7} m / s$ B、 $0.3 \times 1 0^{8} m / s$ C、 $0.3 \times 1 0^{7} m / s$ D、 $3 \times 1 0^{9} m / s$

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10. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时 $A B ∥ C D$ ），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（）

A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm

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11. 在计算 $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$ 时，嘉嘉和琪琪使用方法不同，但计算结果相同，则（）
嘉嘉： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= (\frac{x - 1 + 1}{x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= 1$
琪琪： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \cdot \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{x - 1}{x} + \frac{x + 1}{x}$
$= \frac{2 x}{2 x}$
$= 1$

A、嘉嘉正确 B、琪琪正确 C、都正确 D、都不正确

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12. 如图，平面直角坐标系中有M，N、P，Q四个点，其中的三个点在同一反比例函数的图象上，则不在这个图象上的点是（）

A、点N B、点M C、点P D、点Q

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13. 在如图所示的网格中，有两个完全相同的直角三角形纸片，如果把其中一个三角形纸片先横向平移 $m$ 格，再纵向平移 $n$ 格，就能使它的一条边与另一个三角形纸片的一条边重合，拼接成一个四边形，那么 $m + n$ 的结果（）

A、只有一个确定的值 B、有两个不同的值 C、有三个不同的值 D、有三个以上不同的值

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14. 水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是 ${\bar{x}}_{1} ， S_{1}^{2}$ ，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是 ${\bar{x}}_{2} ， S_{2}^{2}$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 ${\bar{x}}_{1} > {\bar{x}}_{2}$ B、 ${\bar{x}}_{1} = {\bar{x}}_{2}$ C、 ${S_{1}}^{2} > {S_{2}}^{2}$ D、 ${S_{1}}^{2} = {S_{2}}^{2}$

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15. 如图所示的两个长方体容器中液体体积相同，根据图中信息，以下结论正确的是（）

A、 $81 x = 36 (x + 5)$ B、 $81 x = 36 (x - 5)$ C、甲容器中液体的体积为405 D、乙容器中液面的高度为10

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16. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6 c m ， ∠ B = 120 °$ ， P为对角线 $A C$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $A C$ 的垂线，交 $A D$ 或 $C D$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 或 $B C$ 于点 $F$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $\sqrt{3}$ cm/s的速度向终点 $C$ 运动，设运动时间为 $t (s)$ ，以 $E F$ 为折线将菱形 $A B C D$ 向右折叠，若重合部分面积为 $4 \sqrt{3} c m^{2}$ ，求t的值，对于其答案，甲答： $t = 2$ ，乙答： $t = 3$ ，丙答： $t = 4$ ，则正确的是（）

A、只有甲答的对 B、甲、乙答案合在一起才完整 C、甲、丙答案合在一起才完整 D、三人答案合在一起才充整

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二、填空题

17. 如图所示的是莉莉 $4$ 次购买某水果的重量（单位， $k g$ ）的统计图，则 $4$ 次重量的中位数是．

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18. 小颖将图1所示七巧板的其中几块拼成如图2所示的一个四边形 $A B C D$ ．

(1)、 $∠ B C D =$ ．

(2)、四边形 $A B C D$ 的最长边长与最短边长的比值为．

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19. 如图1，A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，在数轴上对应的数分别为 $- 4$ ， b，3，某同学将刻度尺按图2方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺 $1.5 c m$ 处，点C对齐刻度尺 $3.5 c m$ 处．

(1)、在图1的数轴上， $A C =$ 个单位长度．

(2)、数轴上点B所对应的数b为，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到 $C B$ 的中点 $P_{1}$ 处，第二次从 $P_{1}$ 点跳动到 $P_{1} B$ 的中点 $P_{2}$ 处，第三次从 $P_{2}$ 点跳动到 $P_{2} B$ 的中点 $P_{3}$ 处，如此跳动下去，则第四次跳动后，数轴上点 $P_{4}$ 所表示数为．

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三、解答题

20. 整式 $\frac{1}{3} (a - 1)$ 的值为 $P$ ．

(1)、若 $P$ 的值为 $1$ ，求 $a$ 的值．

(2)、若 $P$ 为非负数，求 $a$ 的取值范围．

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21. 亮亮和爸爸搭乘飞机外出游玩．若航班售票系统随机分配座位，且系统已将两人分配到同一排．如图所示的是飞机内同一排座位 $A 、 B 、 C 、 D$ 的排列示意图，
窗
$A$
$B$
过道
$C$
$D$
窗

(1)、求亮亮被分配到靠窗座位的概率；

(2)、求亮亮和爸爸被分配到相邻座位的概率（过道两侧座位不算相邻）．

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22. 灵活运用完全平方公式 ${(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 可以解决许多数学问题．
例如：已知 $a - b = 3 ， a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
解： $∵ a - b = 3 ， a b = 1$ ， ∴ ${(a - b)}^{2} = 9 ， 2 a b = 2 ， ∴ a^{2} - 2 a b + b^{2} = 9$ ，
$∴ a^{2} - 2 + b^{2} = 9 ， ∴ a^{2} + b^{2} = 9 + 2 = 11$ ．
请根据以上材料，解答下列问题．

(1)、若 $a^{2} + b^{2}$ 与 $2 a b - 4$ 互为相反数，求 $a + b$ 的值．

(2)、如图，矩形的长为a，宽为b，周长为14，面积为8，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

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23. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过 $A (0 ， - 3)$ ， $B (- 2 ， 5)$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ 和点 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、将抛物线向右平移，使得点 $C$ 移至点 $D$ 处，求抛物线平移的距离．

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24. “垃圾入桶，保护环境从我做起”，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图， $A D = D C = 40 c m ， G D = 30 c m ， G F = 20 c m$ ， $∠ A = ∠ G D C = ∠ D G F = 90 °$ ，桶盖 $G F E C$ 可以绕点G逆时针方向旋转，当旋转角为 $40 °$ 时，桶盖 $G F E C$ 落在 $G F^{'} E^{'} C^{'}$ 的位置．

(1)、求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度．

(2)、求点 $F^{'}$ 到地面 $A B$ 的距离．（参考数据： $s i n 4 0^{∘} \approx 0.64 ， c o s 4 0^{∘} \approx 0.77 ， t a n 4 0^{∘} \approx 0.84$ ）

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25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - x + m$ （m为常数）的图象交y轴于点 $B (0 ， 4)$ ，交x轴于点C，点A的坐标为 $(0 ， 8)$ ，过点A作 $A D ∥ O C$ ，且 $A D = 3 O C$ ，连接 $C D$ ．

(1)、求m的值和点D的坐标．

(2)、求直线 $C D$ 的解析式．

(3)、东东设计了一个小程序：动点P从点D出发在线段 $D A$ 上向点A运动，速度为每秒2个单位长度，同时动点Q从点B出发在线段 $B C$ 上向点C运动，速度为每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度，点Q到达点C后程序结束，设程序运行时间为t秒，当 $P Q$ 与四边形 $A B C D$ 的边平行时程序会发出警报声，求发出警报声时t的值．

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26. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点B顺时针旋转得到矩形 $A_{1} B C_{1} D_{1}$ ， A，C，D的对应点分别为 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ ．

(1)、当点 $A_{1}$ 落在线段 $D C$ 上时，完成以下探究．
①如图1，求 $D A_{1}$ 的长．
②如图2，延长 $D C$ 交 $C_{1} D_{1}$ 于点E，求证： $△ B C A_{1} ≌ △ A_{1} D_{1} E$ ．

(2)、如图3，以 $B C$ 为斜边在右侧作等腰直角三角形 $B C F$ ， $∠ F = 9 0^{∘}$ ， $C F$ 交 $B C_{1}$ 于点G，交 $C_{1} D_{1}$ 于点H，若 $G F = \sqrt{7}$ ，求 $D_{1} H$ 的长．

(3)、如图4，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点P，连接 $P A_{1}$ ， $P D_{1}$ ，则 $△ P A_{1} D_{1}$ 面积的最小值为．

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