广东省深圳市南山区2023年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷

试卷更新日期：2023-04-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 2023$ 的相反数是（）

A、 $2023$ B、 $- 2023$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 下列图形不是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 疫情以后，为了保证大家的健康，学校对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位： $℃$ ）如下： $36.5$ ， $36.3$ ， $36.8$ ， $36.5$ ， $36.3$ ， $36.7$ ， $36.3$ ．这组数据的中位数是（）

A、 $36.3$ B、 $36.5$ C、 $36.7$ D、 $36.8$

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4. 今年1月，深圳召开全市高质量发展大会，同时举行首批266个重大项目开工活动，预计本年度计划投资约535.6亿元，以高质量投资助力高质量发展． $535.6$ 亿用科学记数法表示（）

A、 $5.356 \times 1 0^{2}$ B、 $5.356 \times 1 0^{8}$ C、 $5.356 \times 1 0^{9}$ D、 $5.356 \times 1 0^{10}$

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5. 如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是（）

A、三角形 B、正方形 C、六边形 D、七边形

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} - a = a$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $(a^{2})^{3} = a^{6}$ D、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$

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7. 一副三角形板如图放置， $D E ∥ B C$ ， $∠ C = ∠ D B E = 90 °$ ， $∠ E = 45 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，则 $∠ A B D$ 的度数为（）

A、 $5^{∘}$ B、 $1 5^{∘}$ C、 $2 0^{∘}$ D、 $2 5^{∘}$

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8. 如图，已知 $∠ A O B = 150 °$ ．现按如下步骤作图：①以 $O$ 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交 $O A ， O B$ 于 $C$ ， $D$ ；②分别以 $C$ ， $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径画弧，两弧交于点 $E$ ，连接 $E O$ 交 $\overset{⌢}{C D}$ 于 $F$ ；③以 $E$ 为圆心， $O D$ 长为半径画弧，交 $O E$ 于点 $G$ ；④以 $G$ 为圆心， $D F$ 长为半径画弧，交前弧于点 $H$ ；⑤作射线 $E H$ 交OA于点I．若测得 $O I = 6$ ，则点E到 $O B$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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9. 华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用这句话中提到的思想方法判断方程 $\frac{1}{x} + 2 = - x^{2} + 4 x$ 的根的情况是（）

A、有三个实数根 B、有两个实数根 C、有一个实数根 D、无实数根

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10. 如图，在边长为 $4$ 正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在以 $B$ 为圆心的弧 $A C$ 上，射线 $D E$ 交 $A B$ 于 $F$ ，连接 $C E$ ，若 $C E ⊥ D F$ ，则 $D E$ =（）

A、 $2$ B、 $\frac{2}{5} \sqrt{5}$ C、 $\frac{4}{5} \sqrt{5}$ D、 $\frac{6}{5} \sqrt{5}$

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二、填空题

11. 按照下图所示的操作步骤，若输入x的值为－2，则输出的值为.

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12. 一个二次二项式分解后其中的一个因式为 $x - 3$ ，请写出一个满足条件的二次二项式．

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13. 如图，AC经过⊙O的圆心O ， AB与⊙O相切于点B ，若∠A＝50°，则∠C＝度．

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14. 如图，直角坐标系原点为 $R t △ A B C$ 斜边的中点， $∠ A C B = 90 °$ ， $A$ 点坐标为 $(- 5 ， 0)$ ，且 $t a n A = \frac{1}{3}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 经过点C，则k的值为．

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15. 如图，等边三角形 $A B C$ 边长为2，点D在 $B C$ 边上，且 $B D ＜ C D$ ，点E在 $A B$ 边上且 $A E = B D$ ，连接 $A D$ ， $C E$ 交于点F，在线段 $F C$ 上截取 $F G = F A$ ，连接 $B G$ ，则线段 $B G$ 的最小值是．

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三、解答题

16. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 < 1 \\ 4 - x \geq 1 \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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17.

(1)、直接写出结果计算： $(x + 1) (x - 2)$ $=$ ．

(2)、利用（1）中的结论化简 $\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{3}} \div \frac{x^{2} - x - 2}{2 x} + \frac{x - 1}{x + 1}$ ．

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18. 为调查某校关于国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”的落实情况，某部门就“每天在校体育活动时间”随机调查了该校部分学生，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
每天在校体育活动时间扇形统计图：
每天在校体育活动时间频数分布表：
组别
每天在校体育活动时间t/h
人数
A
t＜0.5h
20
B
0.5h≤t＜1h
40
C
1h≤t＜1.5h
a
D
t≥1.5h
20
请根据以上图表信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人，a＝， C组所在扇形的圆心角的大小是；

(2)、若该校约有1500名学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数．

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19. “双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元购进A型护眼灯的数量和用4200元购进B型护眼灯的数量相同，其中每台A型护眼灯比B型护眼灯便宜9元．

(1)、求该商场购进每台A型和B型护眼灯的成本价．

(2)、该商场经过调查发现，A型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台A型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？

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20.

(1)、如图1，纸片 $▱ A B C D$ 中， $A D ＝ 10$ ， $S_{▱ A B C D} = 60$ ，过点A作 $A E ⊥ B C$ ，垂足为E，沿 $A E$ 剪下 $△ A B E$ ，将它平移至 $△ D C E^{'}$ 的位置，拼成四边形 $A E E^{'} D$ ，则四边形 $A E E^{'} D$ 的形状为____．（从以下选项中选取）

A、正方形 B、菱形 C、矩形

(2)、如图2，在（1）中的四边形纸片 $A E E^{'} D$ 中，在 $E E^{'}$ 上取一点F，使 $E F ＝ 8$ ，剪下 $△ A E F$ ，将它平移至 $△ D E^{'} F^{'}$ 的位置，拼成四边形 $A F F^{'} D$ ．

①求证：四边形 $A F F^{'} D$ 是菱形；

②连接 $D F$ ，求 $s i n ∠ A D F$ 的值．

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21. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．
图1 备用图

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1， $D$ 是 $B C$ 上方抛物线上一点，连接 $A D$ 交线段 $B C$ 于点 $E$ ，若 $A E = 2 D E$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、抛物线上是否存在点 $P$ 使得 $∠ P A B = ∠ A B C$ ，如果存在，请求出点 $P$ 的坐标，如果不存在，请说明理由．

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22. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是对角线 $A C$ 上的动点（与点 $A$ ， $C$ 不重合），连接 $B E$ ．

(1)、将射线 $B E$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $45 °$ ，交直线 $A C$ 于点 $F$ ．
①依题意补全图1；
②小深通过观察、实验，发现线段 $A E ， F C ， E F$ 存在以下数量关系： $A E 与 F C$ 的平方和等于 $E F$ 的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：
想法1：将线段 $B F$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $B M$ ，要证 $A E ， F C ， E F$ 的关系，只需证 $A E ， A M ， E M$ 的关系．
想法2：将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折，得到 $△ N B E$ ，要证 $A E ， F C ， E F$ 的关系，只需证 $E N ， F N ， E F$ 的关系．
…
请你参考上面的想法，用等式表示线段 $A E ， F C ， E F$ 的数量关系并证明；（一种方法即可）

(2)、如图2，若将直线 $B E$ 绕点B顺时针旋转 $135 °$ ，交直线 $A C$ 于点 $F$ ．若正方形边长为 $2$ ， $A E ： E C = 2 ： 3$ ，求 $A F$ 的长．

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组别	每天在校体育活动时间t/h	人数
A	t＜0.5h	20
B	0.5h≤t＜1h	40
C	1h≤t＜1.5h	a
D	t≥1.5h	20