广东省深圳市福田区2023年九年级3月质量检测数学试题

试卷更新日期：2023-04-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个选项中，为负整数的是（）

A、0 B、 $- 2$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2022年深圳全市地区生产总值3.24万亿元.3.24万亿用科学记数法表示为（）

A、 $0.324 \times 1 0^{13}$ B、 $3.24 \times 1 0^{13}$ C、 $3.24 \times 1 0^{12}$ D、 $32.4 \times 1 0^{12}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $3 x + 3 y = 6 x y$ B、 $2 a^{2} \div a = 2 a$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(- 3 p q)}^{2} = - 6 p^{2} q^{2}$

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5. 如图，一个含有 $30 °$ 角的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上．如果 $∠ 1 = 20 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $35 °$ C、 $30 °$ D、 $25 °$

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6. 一件商品售价 $x$ 元，利润率为 $a % (a > 0)$ ，则这种商品每件的成本是（）元．

A、 $(1 + a %) x$ B、 $(1 - a %) x$ C、 $\frac{x}{1 + a %}$ D、 $\frac{x}{1 - a %}$

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7. 如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为 $30 °$ ，则甲楼高度为（）

A、15米 B、 $(36 - 10 \sqrt{3})$ 米 C、 $15 \sqrt{3}$ 米 D、 $(36 - 15 \sqrt{3})$ 米

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8. 下列说法正确的是（）

A、对角线互相垂直的四边形是菱形 B、对应边成比例的四边形是相似四边形 C、二次函数 $y = x^{2} + b x - 1$ （ $b$ 为常数）的图象与 $x$ 轴有两个交点 D、若代数式 $\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ 在实数范围内有意义，则 $x \geq - 1$

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9. 我们定义一种新函数：形如 $y = | a x^{2} + b x + c | (a \neq 0 ， b^{2} - 4 a c > 0)$ 的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数 $y = | x^{2} + b x + c |$ 的图像如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $b c < 0$ B、 $c = 3$ C、当直线 $y = x + m$ 与该图像恰有三个公共点时，则 $m = 1$ D、关于 $x$ 的方程 $| x^{2} + b x + c | = 3$ 的所有实数根的和为4

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A E F G$ 均为正方形，点 $D$ 为 $E F$ 的中点，若 $A B = 2 \sqrt{5}$ ，连接 $B F$ ，则 $B F$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{15}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{17}$

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二、填空题

11. 分解因式： $4 a^{2} b - b =$ ．

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12. 宝鸡“我要上全运”马拉松赛事设有A“全程马拉松”，B“半程马拉松”，C：“嘉年华马拉松”三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.小智和小慧被分到同一个项目组进行志愿服务的概率.

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13. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，按以下步骤作图：①以点 $A$ 为圆心，以小于 $A C$ 的长为半径作弧，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $M$ ， $N$ ；②分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $O$ ；③作射线 $O A$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $C E = 6$ ， $B E = 10$ ．则 $A B$ 的长为．

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14. 如图，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象经过点 $A$ ，将线段 $O A$ 沿 $x$ 轴向右平移至 $O^{'} A^{'}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象经过点 $A^{'}$ ．若线段 $O A$ 扫过的面积为 $2$ ，则 $k$ 的值为

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $A D = B D$ ，将 $△ D B C$ 沿 $B D$ 折叠， $B C$ 的对应边 $B C^{'}$ 交 $A C$ 于点 $P$ ，连接 $A C^{'}$ ．若 $A P = 4$ ， $A C = 9$ ，则 $A C^{'}$ 的长为

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三、解答题

16. 计算： ${(3.14 - π)}^{0} - \sqrt{3} t a n 60 ° + | \sqrt{2} - 1 | + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$

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17. 先化简: $(\frac{3 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ ，并在 $- 2, 0, 1, 2$ 中选一个合适的数求值.

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18. 为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x（单位：h）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10），并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次一共抽样调查了名学生．

(2)、求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数．

(3)、将条形统计图补充完整．

(4)、若该校共有1200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9h．

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19. 某企业计划购买A、 $B$ 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台 $B$ 型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与 $B$ 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．

(1)、求每台A型机器人和每台 $B$ 型机器人每天分别搬运货物多少吨？

(2)、每台A型机器人售价1.2万元，每台 $B$ 型机器人售价2万元，该公司计划采购A、 $B$ 两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？

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20. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在直径 $A B$ 上（点 $C$ 与A， $B$ 两点不重合）， $O C = 3$ ，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上满足 $A C = A D$ ，连接 $D C$ 并延长到 $E$ 点，使 $B E = B D$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B E = 6$ ，求 $c o s ∠ C D A$ 的值．

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21. 【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为 $x$ 米，与湖面的垂直高度为 $y$ 米．下面的表中记录了 $x$ 与 $y$ 的五组数据：
$x$ （米）
0
1
2
3
4
$y$ （米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5

(1)、在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示 $y$ 与 $x$ 函数关系的图象；

(2)、若水柱最高点距离湖面的高度为 $m$ 米，则 $m =$ ▲ ，并求 $y$ 与 $x$ 函数表达式；

(3)、现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．

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22.

(1)、【问题初探】
如图1，等腰 $R t △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 为 $A B$ 边一点，以 $B D$ 为腰向下作等腰 $R t △ B D E$ ， $∠ D B E = 90 °$ ．连接 $C D$ ， $C E$ ，点 $F$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A F$ ．猜想并证明线段 $A F$ 与 $C E$ 的数量关系和位置关系．

(2)、【深入探究】
在（1）的条件下，如图2，将等腰 $R t △ B D E$ 绕点 $B$ 旋转，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3)、【拓展迁移】
如图3，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．在 $R t △ B D E$ 中， $∠ D B E = 90 °$ ， $∠ B D E = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ．连接 $C D$ ， $C E$ ，点 $F$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A F$ ．
$R t △ B D E$ 绕点 $B$ 旋转过程中，
①线段 $A F$ 与 $C E$ 的数量关系为：；
②若 $B C = 4 \sqrt{13}$ ， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，当点 $F$ 在等腰 $△ A B C$ 内部且 $∠ B C F$ 的度数最大时，线段 $A F$ 的长度为．

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$x$ （米）	0	1	2	3	4
$y$ （米）	0.5	1.25	1.5	1.25	0.5