（人教版）2022-2023学年度第二学期八年级数学勾股定理的逆定理期中复习

试卷更新日期：2023-04-06 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A、∠B＝50°，∠C＝40° B、∠A=2∠B=3∠C C、a＝4，b＝ $\sqrt{41}$ ， c＝5 D、a：b：c＝1： $\sqrt{2}$ ： $\sqrt{3}$

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2. 下列线段a，b，c能组成直角三角形的是（）

A、 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c = 4$ B、 $a = 4$ ， $b = 5$ ， $c = 6$ C、 $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = \sqrt{3}$ D、 $a = \sqrt{7}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{6}$

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3. 下列数字作为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）

A、8，15，17 B、1， $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{2}$ C、4， $\sqrt{7}$ ， 3 D、 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{12}$ ， $\sqrt{13}$

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4. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列条件不能判定 $△ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、 $∠ B = ∠ C - ∠ A$ B、 $a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5$ C、 $c^{2} + b^{2} = a^{2}$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 5 ： 12 ： 13$

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5. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，且 ${(a + b)}^{2} = 11$ ，小正方形的面积为3，则大正方形的边长为（）

A、10 B、7 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{7}$

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6. 以下列线段a，b，c的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）

A、 $a = 7$ ， $b = 24$ ， $c = 25$ B、 $a = 1.5$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ C、 $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 1$ D、 $a = 9$ ， $b = 12$ ， $c = 15$

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7. 在△ABC中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（）

A、 $a^{2} = (c - b) (c + b)$ B、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ C、 $∠ A = ∠ C$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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8. 我国古代数学专著《九章算数》中有一名题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”其大意是：已知甲、乙二人同时从一地出发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙向东行走，甲先向南行走10步时偏离原方向，朝北偏东的方向直行走一段后与乙相遇．问：甲、乙各行走了多少步？设 $S_{甲}$ 、 $S_{乙}$ 分别为甲、乙走的路程（单位：步），则（）

A、 $S_{甲} = 10.5$ ， $S_{乙} = 24.5$ B、 $S_{甲} = 24.5$ ， $S_{乙} = 10.5$ C、 $S_{甲} = 17.5$ ， $S_{乙} = 7.5$ D、 $S_{甲} = 7.5$ ， $S_{乙} = 17.5$

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9. 古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（）．

A、直角三角形两个锐角互余 B、三角形的稳定性 C、勾股定理 D、勾股定理的逆定理

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10. 如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（）

A、 $\sqrt{10} c m$ B、 $4 c m$ C、 $\sqrt{17} c m$ D、 $5 c m$

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二、填空题

11. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是BC边上的中线，且AD=2，则BC的长为.

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12. 如图，已知圆柱底面的周长为 $24 d m$ ，圆柱高为 $5 d m$ ，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈红丝线，则这圈红丝线的周长最小为 $d m$ ．

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13. 如图，一根长16cm的牙刷置于底面直径为6cm、高8cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是．

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14. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以边 $A B ， C A ， B C$ 向外作正方形，正方形 $A B I H$ 的面积为36，正方形 $A C F G$ 的面积为64，则正方形 $B D E C$ 的边长是．

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15. 如图所示，圆柱形玻璃容器，高19cm，底面周长为30cm，在外侧下底面点 $S$ 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处1cm的点 $F$ 处有一飞蛾，急于捕获飞蛾充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是cm．（玻璃容器壁厚度忽略不计）

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三、解答题

16. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：
如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，求池水的深度．

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17. 如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦12米（ $A C$ 的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯 $A B$ 长20米，云梯底部距地面3米（ $A E$ 的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（ $B D$ 的长）？

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18. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今有竹高一尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远，问原处还有多高的竹子？翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．

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四、综合题

19. 如图， $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 上的一点， $A B = 5$ ， $B D = 3$ ， $A D = 4$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、判断 $A D$ 与 $B C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得 $B C = 30$ 米， $A C = 50$ 米．

求：

(1)、两棵景观树之间的距离；

(2)、点B到直线AC的距离．

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21. 湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得 $B C = 30$ 米， $A C = 50$ 米．
求：

(1)、两棵景观树之间的距离；

(2)、点B到直线AC的距离．

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22. 如图，已知 $A C ⊥ B C$ ， $C A = B D = C B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$

(1)、求AB的长；

(2)、求 $△ A B D$ 的面积．

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23. 课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中 $∠ B A C$ 为直角，AD为斜边BC上的中线， $∠ B = 30 °$ ．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使 $D E = A D$ ，连结BE，再证 $△ A B C ≌ △ B A E$ ，从而就可以证明得到 $A D = \frac{1}{2} B C$ ；

(1)、小聪同学还想借助图②，在任意的 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C$ 为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论 $A D = \frac{1}{2} B C$ ，请你帮助小聪同学完成；

(2)、如图③，在 $△ A B C$ 中 $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，如果 $C D = 1$ ， $A D = 2$ ， $B D = 4$ ，求 $△ A B C$ 的中线AE的长度．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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