（人教版）2022-2023学年度第二学期八年级数学二次根式的加减期中复习

试卷更新日期：2023-04-06 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 下列二次根式中，不能与 $\sqrt{2}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{8}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $- \sqrt{18}$

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} = 6 \sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3} = 5 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} \div \sqrt{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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3. 下列各组二次根式，是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ 与 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{18}$ 与 $\sqrt{24}$ C、 $\sqrt{8}$ 与 $\sqrt{18}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 与 $\sqrt{\frac{2}{3}}$

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4. 下列运算错误的是（）

A、 $\sqrt{5} \times \sqrt{11} = \sqrt{5 \times 11}$ B、 $\sqrt{5} \div \sqrt{3} = \sqrt{\frac{5}{3}}$ C、 $\sqrt{16} + \sqrt{9} = \sqrt{16 + 9}$ D、 $\sqrt{4 a^{2} b^{3}} = 2 a b \sqrt{b} (a > 0)$

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5. 下列各数中，化为最简二次根式后能与 $\sqrt{3}$ 合并的是（）

A、 $\sqrt{18}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{9}}$

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6. 下列变形正确的是（）

A、 $\sqrt{7} - \sqrt{5} = \sqrt{2}$ B、 $5 \times \sqrt{\frac{3}{5}} = \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ D、 $\sqrt{12} \div 2 = \sqrt{3}$

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7. 估计 $\sqrt{2} \div \sqrt{\frac{1}{10}} + \sqrt{5}$ 的值应在（）

A、5和6之间 B、6和7之间 C、7和8之间 D、8和9之间

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8. 我们知道 $6 - \sqrt{2}$ 的小数部分b为 $2 - \sqrt{2}$ ，如果用a代表它的整数部分，那么 $a b^{2} - a^{2} b$ 的值是（）

A、8 B、－8 C、4 D、－4

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9. 化简后，与 $\sqrt{2}$ 的被开方数相同的二次根式是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{6}}$

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10. 若最简二次根式 $\sqrt{a + 2}$ 与最简二次根式 $\sqrt{3 a}$ 是同类二次根式，则a的值为（）

A、2 B、－2 C、－1 D、1

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二、填空题

11. 已知 $x + y = - 2$ ， $x y = 3$ ，则代数式 $\sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的值是；

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12. 若 $\sqrt{18}$ 与最简二次根式 $\sqrt{2 x - 1}$ 是同类二次根式，则 $x =$ ．

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13. 已知 $x = \sqrt{6 a} \div \sqrt{2 a}$ ，则 ${(x + \sqrt{3})}^{2}$ 的值为．

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14. 如果最简二次根式 $\sqrt{x + 3}$ 与最简二次根式 $\sqrt{1 + 2 x}$ 是同类二次根式，则 $x =$ ．

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15. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．请你利用公式解答下列问题：在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 3$ ， $b = 6$ ， $c = 5$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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三、解答题

16. 计算： $| 1 - \sqrt{3} | - \sqrt{3} \times \sqrt{12} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} - {(\frac{2}{3})}^{- 1}$

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17. 若矩形的面积是（6+2 $\sqrt{6}$ ）cm²，一边长是 $\sqrt{6}$ cm，求它的周长．

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18. 小明家装修，电视背景墙长BC为 $\sqrt{27}$ m，宽AB为 $\sqrt{8}$ m，中间要镶一个长为2 $\sqrt{3}$ m宽为 $\sqrt{2}$ m的长方形大理石图案（图中阴影部分）.除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积（结果化为最简二次根式）

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四、综合题

19. 已知a＝， b＝．

(1)、求ab，a＋b的值．

(2)、求＋的值．

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20. 计算

(1)、计算： $\sqrt{8} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}} + (\sqrt{27} + 2 \sqrt{6}) \div \sqrt{3}$ .

(2)、先化简 $(1 - \frac{1}{x + 1}) \div \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$ ，再从 $- 1$ ， 0，1中选择合适的 $x$ 值代入求值.

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21. 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ 。以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
也可以用如下方法化简： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$

(1)、请用两种不同的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ．

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22.

(1)、已知 $m = \sqrt{3} - 1$ ， $n = \sqrt{3} + 1$ ，求代数式 $\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$ 的值.

(2)、已知 $x - \frac{1}{x} = 2$ ，求 $\sqrt{x^{4} + \frac{1}{x^{4}} + 14}$ 的值.

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23. 小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号的代数式的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2}$ .善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2}$ （其中a、b、m、n均为整数），则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 m n \sqrt{2} + 2 n^{2}$ . $a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n$ .这样小明就找到了一种把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的代数式化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为整数时，若 $a + b \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，用含m、n的代数式分别表示a、b，则： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： $__+__\sqrt{3} = {(____+____\sqrt{3})}^{2}$ .

(3)、若 $a + 4 \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2}$ ，且a、m、n均为正整数，求a的值.

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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