广西钦州市浦北县2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2023-04-06 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.1}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt[3]{5}$

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2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A、4，5，6 B、1，1， $\sqrt{2}$ C、6，8，11 D、5，12，23

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} = \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{4} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = 3$

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4. 如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（）

A、30° B、25° C、20° D、15°

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5. 下列命题的逆命题不成立的是（）

A、平行四边形的两组对边分别相等 B、矩形的四个角都是直角 C、菱形的四条边都相等 D、正方形的对角线垂直且相等

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6. 若式子 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 可取值（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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7. 下列给出的条件中，能判断四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A B = C D$ ， $C B = A D$ B、 $A B ∥ C D$ ， $A D = B C$ C、 $A B = A D$ ， $C D = B C$ D、 $∠ B = ∠ C$ ， $∠ A = ∠ D$

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8. 如图，在由边长均为1的小正方形组成的 $4 \times 4$ 网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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9. 若 $x$ ， $y$ 为实数，且 $y = 2 + \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3}$ ，则代数式 $x + y$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、5

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10. 如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较长的直角边为m，较短的直角边为n，那么 ${(m + n)}^{2}$ 的值为（）

A、23 B、24 C、25 D、26

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11. 如图， $O P = 1$ ，过点 $P$ 作 $P P_{1} ⊥ O P$ 且 $P P_{1} = 1$ ，得 $O P_{1} = \sqrt{2}$ ；再过点 $P_{1}$ 作 $P_{1} P_{2} ⊥ O P_{1}$ 且 $P_{1} P_{2} = 1$ ，得 $O P_{2} = \sqrt{3}$ ；又过点 $P_{2}$ 作 $P_{2} P_{3} ⊥ O P_{2}$ 且 $P_{2} P_{3} = 1$ ，得 $O P_{3} = 2$ ， …，依此法继续作下去，则 $O P_{2022}$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2020}$ B、 $\sqrt{2021}$ C、 $\sqrt{2022}$ D、 $\sqrt{2023}$

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12. 如图，已知矩形纸片 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点 $P$ 在 $B C$ 边上，将 $△ C D P$ 沿 $D P$ 折叠，点 $C$ 落在点 $E$ 处， $P E$ ， $D E$ 分别交 $A B$ 于点 $O$ ， $F$ ，且 $O P = O F$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $\frac{39}{11}$ B、 $\frac{45}{13}$ C、 $\frac{17}{5}$ D、 $\frac{57}{17}$

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二、填空题

13. 计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ＝．

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14. 如图，一个圆锥的高 $A O = 6$ ，底面半径 $O B = 4$ ， $A B$ 的长是.

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15. 在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点 $O$ ， A， $C$ 的坐标分别是（0，0），（4，0），（1，2），则顶点 $B$ 的坐标是.

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16. 已知 $a + \frac{2}{a} = \sqrt{20}$ ，那么 $a - \frac{2}{a}$ 的值为.

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17. 如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， S₃_，则它们满足的数量关系为.

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，延长 $A D$ 到点 $E$ ，使得 $D E = 1$ ， $E F ⊥ A E$ ， $E F = A E$ .分别连接 $A F$ ， $C F$ ， $M$ 为 $C F$ 的中点，则 $A M$ 的长为.

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $\sqrt{24} - \sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{3}}$

(2)、 $\sqrt{3} \div \sqrt{6} + (\sqrt{2} - 1)^{2}$ .

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20. 如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头1.5 h后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？

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21. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE=DF．

(1)、求证：△ABE≌△CDF．

(2)、求证：四边形AECF是平行四边形．

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22. 解答下列问题：

(1)、在数轴上作出表示 $\sqrt{20}$ 的点；

(2)、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ .求证 $A E^{2} = B E^{2} + A C^{2}$ .

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点E，延长BC至点F，使 $C F = B E$ ，连接AF，DE，DF．

(1)、求证：四边形AEFD为矩形；

(2)、若 $A B = 3$ ， $D E = 4$ ， $B F = 5$ ，求DF的长．

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24. 像 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ， $\sqrt{\sqrt{96} - \sqrt{63}}$ …这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = \sqrt{3 - 2 \sqrt{3} + 1} = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} - 2 \times \sqrt{3} + 1^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{3 - 1})}^{2}} = \sqrt{3} - 1$ ；再如： $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{3 + 2 \sqrt{6} + 2} = \sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + 2 \times \sqrt{6} + {(\sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．请用上述方法探索并解决下列问题：

(1)、化简： $\sqrt{11 + 2 \sqrt{30}} =$ ， $\sqrt{24 - 6 \sqrt{15}} =$ ；

(2)、若 $a + 6 \sqrt{5} = {(m + \sqrt{5} n)}^{2}$ ，且a ， m ， n为正整数，求a的值．

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25. 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.

(1)、如图1，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点.求证中点四边形 $E F G H$ 是平行四边形；

(2)、如图2，点 $P$ 是四边形 $A B C D$ 内一点，且满足 $P A = P B$ ， $P C = P D$ ， $∠ A P B = ∠ C P D$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，猜想中点四边形 $E F G H$ 的形状，并证明你的猜想；

(3)、若改变（2）中的条件，使 $∠ A P B = ∠ C P D = 90 °$ ，其他条件不变，请判断中点四边形 $E F G H$ 的形状，并说明理由.

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