江苏省兴化市2023年九年级第二次学生学科素养能力提升数学试题

试卷更新日期：2023-04-06 类型：中考模拟

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一、填空题

1. 如图，在方格纸中，随机撒一粒黄豆，落在阴影部分的概率是.

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2. 关于 $x$ 的一元二次方程 $- x^{2} + 2 x + k = 0$ 的一个解是 $x_{1} = 3$ ，则抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + k$ 与 $x$ 轴的交点坐标是.

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3. 教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为 $y = - \frac{2}{25} {(x - 4)}^{2} + 2$ ，由此可知小明此次投掷的成绩是m．

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4. 在平面直角坐标系中，Q是直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 上的一个动点，将Q绕点 $P (1 ， 0)$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到点 $Q^{'}$ 连接 $O Q^{'}$ ，则 $O Q^{'}$ 的最小值为．

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5. 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD= $\sqrt{3}$ ，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为.

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二、解答题

6. 某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念.在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示.

(1)、直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数；

(2)、分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；

(3)、用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和；

(4)、用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率.

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7. 如图是由边长为1的小正方形组成的的一个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)、画出该圆的圆心O，并写出 $⊙ O$ 的半径长；

(2)、画出 $⊙ O$ 上的点Q，使 $P Q$ 长最小，并写出 $P Q$ 的最小值；

(3)、画出格点E，使 $E C$ 为 $⊙ O$ 的一条切线，并画出过点E的另一条切线 $E F$ ，切点为F.（只需要画出满足条件的一个点E和一个点F即可）

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8. 如图，AB为半圆O的直径，BC切半圆O于点B，连结AC交半圆于点D，点E为 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点，连结BE交AC于点F.

(1)、求证： $C B = C F$ .

(2)、若 $\frac{E F}{F B} = \frac{1}{3}$ ， $B C = 6$ ，求AB的长.

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9. 如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 $A B C D$ ，其中 $A B = 3 m$ ， $A D = 1 m$ ，此时它与出入口 $O M$ 等宽，与地面的距离 $A O = 0.2 m$ ；当它抬起时，变为平行四边形 $A B^{'} C^{'} D$ ，如图3所示，此时， $A^{'} B^{'}$ 与水平方向的夹角为 $60 °$ .

(1)、求点 $B^{'}$ 到地面的距离；

(2)、在电动门抬起的过程中，求点 $C$ 所经过的路径长；

(3)、一辆高 $1.6 m$ ，宽 $1.5 m$ 的汽车从该入口进入时，汽车需要与 $B C$ 保持 $0.4 m$ 的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由.（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $π \approx 3.14$ ，所有结果精确到 $0.1)$

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10. 某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据.

x

40

70

90

y

180

90

30

W

3600

4500

2100

(1)、求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

(2)、若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；

(3)、因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（ $m > 0$ ），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值.

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11. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.

(1)、如图1， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $B D = 4 \sqrt{2}$ ， $B C = 10$ .四边形 $A B C D$ 是被 $B D$ 分割成的“师梅四边形”，求 $A B$ 长；

(2)、如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且 $O A = 3$ ， $O B = 2$ ，若点C是直线 $y = x$ 在第一象限上的一点，且 $O C$ 是四边形 $O A C B$ 的“师梅线”，求四边形 $O A C B$ 的面积.

(3)、如图3，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 6 0^{°}$ 点E是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $A F$ ， $∠ D A F = 3 0^{°}$ ， ①求证：四边形 $A B C F$ 是“师梅四边形”；②若 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求线段 $B F$ 的长.

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12. 已知：如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过原点 $O$ ，它的对称轴为直线 $x = 2$ ，动点 $P$ 从抛物线的顶点 $A$ 出发，在对称轴上以每秒 $1$ 个单位的速度向下运动，设动点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒，连接 $O P$ 并延长交抛物线于点 $B$ ，连接 $O A$ ， $A B$ .

(1)、求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)、当三点 $A$ ， $O$ ， $B$ 构成以为 $O B$ 为斜边的直角三角形时，求 $t$ 的值；

(3)、将 $△ P A B$ 沿直线 $P B$ 折叠后，那么点 $A$ 的对称点 $A_{1}$ 能否恰好落在坐标轴上？若能，请直接写出所有满足条件的 $t$ 的值；若不能，请说明理由.

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x	40	70	90
y	180	90	30
W	3600	4500	2100