河南省洛阳市伊滨区2022-2023学年九年级上学期第二次质检数学试题

试卷更新日期：2023-04-06 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线的函数表达式为 $y = 3 {(x - 2)}^{2} + 1$ ，若将 $x$ 轴向上平移2个单位长度，将 $y$ 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）

A、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} + 3$ B、 $y = 3 {(x - 5)}^{2} + 3$ C、 $y = 3 {(x - 5)}^{2} - 1$ D、 $y = 3 {(x + 1)}^{2} - 1$

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3. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）

A、28° B、30° C、36° D、56°

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4. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=25°，则∠BAA′的度数是（）

A、55° B、60° C、65° D、70°

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5. 已知（0，y₁），（ $\sqrt{3}$ ，y₂），（3，y₃）是抛物线y＝ax²﹣4ax+1（a是常数，且a＜0）上的点，则（）

A、y₁＞y₂＞y₃ B、y₃＞y₂＞y₁ C、y₂＞y₃＞y₁ D、y₂＞y₁＞y₃

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6. 若点O是 $△ A B C$ 的外心，且∠BOC=50°，则∠BAC的度数为（）

A、25° B、130° C、25°或130° D、25°或155°

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7. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E.设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）

A、3α+β＝180° B、2α+β＝180° C、3α﹣β＝90° D、2α﹣β＝90°

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8. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 2 a - 4$ （ $a$ 为常数）的图象与x轴有交点，且当 $x > 3$ 时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 2$ B、 $a < 3$ C、 $- 2 \leq a < 3$ D、 $- 2 \leq a \leq 3$

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9. 如图，在 $Δ O A B$ 中，顶点 $O (0，0)$ ， $A (- 3，4)$ ， $B (3，4)$ ，将 $Δ O A B$ 与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转 $90^{°}$ ，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）

A、 $(10，3)$ B、 $(- 3，10)$ C、 $(10， - 3)$ ） D、 $(3， - 10)$

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10. 如图，O是正 $△ A B C$ 内一点， $O A = 3$ ， $O B = 4$ ， $O C = 5$ ，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转 $6 0^{∘}$ 得到线段 $B O'$ ，下列结论：

$① △ B O' A$ 可以由 $△ B O C$ 绕点B逆时针旋转 $6 0^{∘}$ 得到；

$②$ 点O与 $O'$ 的距离为4；

$③ ∠ A O B = 15 0^{∘}$ ；

$④ S_{四边形 A O B O'} = 6 + 3 \sqrt{3}$ ；

其中正确的结论是 $($ $)$

A、 $① ② ③$ B、 $① ③ ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $① ②$

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二、填空题

11. 在直角坐标系中，将点 $(- 2 ， 3)$ 关于原点的对称点向左平移 $2$ 个单位长度得到的点的坐标是.

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12. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道 $A B = 1$ 尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．

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13. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是 $\sqrt{5}$ ，则圆锥的母线l= ．

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14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在 $\overset{⌢}{A D}$ 上， $∠ B A C = 22.5 °$ ，则 $B C$ 的长为.

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，点 $P$ 在 $A C$ 上，且 $C P = 1$ ，将 $C P$ 绕点 $C$ 在平面内旋转，点 $P$ 的对应点为点 $Q$ ，连接 $A Q$ ， $D Q .$ 当 $∠ A D Q = 90 °$ 时， $A Q$ 的长为．

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三、解答题

16. 解方程：

(1)、3x²-5x+2＝0

(2)、（x+1）（x+3）＝8

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17. 如图， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (0 ， 1)$ ， $B (3 ， 3)$ ， $C (1 ， 3)$ .

⑴画出 $△ A B C$ 关于点 $O$ 的中心对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵画出 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转90°的 $△ A B_{2} C_{2}$ ；直接写出点 $C_{2}$ 的坐标为 ▲ ；
⑶在（2）的条件下，求出线段 $A C$ 所扫过图形的面积.

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18. 已知：如图， $△$ ABC为锐角三角形，AB=AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP= $\frac{1}{2} ∠ B A C$ ．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；②连接BP．线段BP就是所求作线段．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP= ▲ ．
∵AB=AC，
∴点B在⊙A上．
又∵∠BPC= $\frac{1}{2}$ ∠BAC（）（填推理依据）
∴∠ABP= $\frac{1}{2}$ ∠BAC

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ .以AB为直径的 $⊙ O$ 与线段BC交于点D，过点D作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P.

(1)、求证：直线PE是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为6， $∠ P = 30 °$ ，求CE的长.

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20. 如图所示，点P是正方形ABCD内的一点，连接AP，BP，CP，将△PAB绕着点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置.若AP=2，BP=4，∠APB=135°，求PP′及PC的长.

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21. 丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…

(1)、直接写出y与x的函数关系式；

(2)、若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？

(3)、当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？

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22. 如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D、E分别在边AB， $A C$ 上， $A D = A E$ ，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.

(1)、观察猜想：图中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

(2)、探究证明：把 $△ A D E$ 绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接 $M N$ ， $B D$ ， $C E$ ，判断 $△ P M N$ 的形状，并说明理由；

(3)、拓展延伸：把 $△ A D E$ 绕点A在平面内自由旋转，若 $A D = 4$ ， $A B = 10$ ，请直接写出 $△ P M N$ 面积的最大值.

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23. 在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax²＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．

(1)、求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时 y﹤0 ?

(2)、点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P ，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由

(3)、点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．

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销售单价x（元/件）	…	35	40	45	…
每天销售数量y（件）	…	90	80	70	…