备考2023年中考数学计算能力训练3 整式的运算

试卷更新日期：2023-04-05 类型：二轮复习

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一、单选题（每题1分，共10分）

1. 关于 $- a - b$ 进行的变形或运算：
① $- a - b = - (a + b)$ ；② ${(- a - b)}^{2} = {(a + b)}^{2}$ ；③ $| - a - b | = a - b$ ；④ ${(- a - b)}^{3} = - {(a - b)}^{3}$ ．其中错误的是（）

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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2. 下列计算正确的是（）

A、3x²+2x²＝5x⁴ B、x³•x³＝2x³ C、（x⁴）³＝x⁷ D、10ab³÷（-5ab）＝-2b²

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3. 下列计算正确的是（）

A、2ab﹣ab＝ab B、2ab+ab＝2a²b² C、4a³b²﹣2a＝2a²b D、﹣2ab²﹣a²b＝﹣3a²b²

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4. 若A＝3x²＋5x＋2，B＝4x²＋5x＋3，则A与B的大小关系是（）

A、A＞B B、A＜B C、A≤B D、无法确定

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5. 下列各式中，计算结果为 $a^{12}$ 的是（）

A、 ${(- a^{4})}^{8}$ B、 $(- a^{4}) \cdot a^{8}$ C、 $a^{3} \cdot {(- a)}^{6}$ D、 ${(- a^{3})}^{4}$

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6. 已知 ${(x + y)}^{4} = a_{1} x^{4} + a_{2} x^{3} y + a_{3} x^{2} y^{2} + a_{4} x y^{3} + a_{5} y^{4}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ 的值是（）

A、4 B、8 C、16 D、12

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7. 下列计算中正确的是（）

A、 $2 x^{2} \times 3 x^{3} = 6 x^{6}$ B、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = - 8 x^{6}$ C、 $(- 3 a + b) (3 a + b) = 9 a^{2} - b^{2}$ D、 ${(2 a + b)}^{2} = 4 a^{2} + b^{2}$

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8. 计算多项式 $6 x^{2} + 4 x$ 除以 $2 x^{2}$ 后，得到的余式为何？（）

A、2 B、4 C、 $2 x$ D、 $4 x$

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9. 设 $M = \sqrt{202 1^{2} - 2020 \times 2022}$ ， $N = \sqrt{202 1^{2} - 4042 \times 2022 + 202 2^{2}}$ ，则 $M$ 与 $N$ 的关系为（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、 $M = \pm N$

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10. 计算：125²-50×125+25²=（）

A、100 B、150 C、10000 D、22500

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二、填空题

11. $2 x^{2} - 3 x^{2} =$ ； $x y (x - 1) =$ ； ${(a^{2} b)}^{2} =$ ； $- x^{3} y^{2} \div x y =$ ；

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12. 计算： ${(- \frac{2}{3})}^{2023} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{2021} =$ .

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13. 若一个多项式加上 $3 x y + 2 y^{2} - 8$ ，结果得 $2 x y + 3 y^{2} - 5$ ，则这个多项式为．

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14. 已知， $x - 3 = 2021$ ，则 ${(x - 3)}^{2} - 2021 (x - 3) + 1$ 的值为．

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15. 若 $a^{m} = 8 ， a^{n} = 4$ 则 $a^{m - 2 n}$ 的值是．

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16. 计算 $(\sqrt{37} - 1) (\sqrt{37} + 1)$ 的结果为．

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17. 计算（x﹣2y）²﹣（x+2y）（2y﹣x）＝.

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18. 已知4(x-1008)²+(2021-2x)²=8，求(x-1008)(2021-2x)的值为．

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三、计算题（共）

19. 计算：[a•a⁵＋（2a³）²]÷a³

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20. 化简求值： $(2 x + 3) (2 x - 3) - {(x + 2)}^{2} + 4 (x + 3)$ ，其中 $x = \sqrt{2}$

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21. 先化简，再求值： $2 (x^{2} - x y) - 3 (x^{2} - 2 x y)$ ，其中 $x = 1$ ， $y = - 1$ .

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22. 若代数式(2x²＋ax－y＋6)－(2bx²－3x＋5y－1)的值与字母x的取值无关，求代数式 $\frac{1}{2}$ a²－2b＋4ab的值．

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23. 先化简，再求值： $(a + b) (a - b) + b (a + 2 b) - {(a + b)}^{2}$ ，其中 $a = - \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ．

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24. 先化简，再求值： $[{(2 x - y)}^{2} + x (y - 4 x) + 8 y^{2}] \div 3 y$ ，其中 $| 2 x - 1 | + {(y + 2)}^{2} = 0$ ．

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25. 计算：

(1)、98×102＝

(2)、31×29=

(3)、|-2|＋(－1)²⁰¹²×(π－3)⁰－ ${(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ＋(－2)^－2

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26. 已知： $x = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} ， y = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ，求下列代数式的值.

(1)、 $x^{2} + y^{2}$

(2)、 $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

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27. 以下是方方化简 $(2 x + y) (2 x - y) + 4 (x + y)^{2}$ 的解答过程．
解： $(2 x + y) (2 x - y) + 4 (x + y)^{2}$
$= 4 x^{2} - y^{2} + 4 (x^{2} + y^{2})$
$= 4 x^{2} - y^{2} + 4 x^{2} + y^{2}$
$= 8 x^{2}$ ．
方方的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

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28. 已知 $a = \frac{1}{2014} x + 2013$ ， $b = \frac{1}{2014} x + 2014$ ， $c = \frac{1}{2014} x + 2015$ ，求代数式 $2 (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c)$ 的值.

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四、解答题（共11题，共90分）

29. 请按照如图所示的程序：

(1)、计算输出整式B的最简结果；

(2)、判断整式B能否是正数，并说明理由．

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30. 已知整式 $A = 5 x^{2} - 9$ ， $B = - x^{2} + 5$ ，若 $A + B = C$ ．

(1)、求整式C；

(2)、将整式C因式分解；

(3)、整式 $D = - 7 - 4 x$ ，比较整式C和整式D的大小．

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31. 李华同学准备化简：（3x²-5x-3）-（x²+2x□6)，算式中“□”是“+，-，×，÷”中的某一种运算符号．

(1)、如果“□”是“÷”，请你化简：（3x²-5x-3）-（x²+2x÷6)；

(2)、当x=1时，（3x²-5x-3）-(x²+2x□6)的结果是-2，请你通过计算说明“□”所代表的运算符号．

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32. 已知两个整式 $A = x^{2} + 2 x$ ， $B =$ $x + 2$ ，其中系数被污染．

(1)、若是-2，化简 $x^{2} + 2 x + (- 2 x + 2)$ ；

(2)、若 $x = 2$ 时， $A + B$ 的值为18
①说明原题中是几？

②若再添加一个常数 $a$ ，使 $A$ ， $B$ ， $a$ 的和不为负数，求 $a$ 的最小值．

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33. 发现：小明经过计算总结出两位数乘11的速算方法：头尾一拉，中间相加，满十进一
例1．计算： $32 \times 11 = 352$ ．

方法：32头尾拉开，中间相加，即3+2=5，满十进一，计算结果为352．

例2．计算： $57 \times 11 = 627$

方法：57头尾拉开，中间相加，即5+7=12，满十进一，计算结果为627

(1)、尝试：
$43 \times 11 =$ ．

(2)、 $69 \times 11 =$ ．

(3)、 $98 \times (- 11) =$ ．

(4)、探究：一个两位数，十位上的数字是m，个位上的数字是n，这个两位数乘11．
若 $m + n < 10$ ，计算结果的百位、十位、个位上的数字分别是什么？请通过计算加以证明

(5)、若 $m + n \geq 10$ ，直接写出计算结果中十位上的数字．

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34. 在化简 $3 (m^{2} n + m n) - 4 (m^{2} n - m n) ◆ 2 m n$ 题目中：◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．

(1)、若◆表示－，请化简 $3 (m^{2} n + m n) - 4 (m^{2} n - m n) - 2 m n$

(2)、当 $m = - 2$ ， $n = 1$ 时， $3 (m^{2} n + m n) - 4 (m^{2} n - m n) ◆ 2 m n$ 的值为12，请推算出◆所表示的符号．

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35. 阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i²＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a ， b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；

(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i²＝2+(−1+2)i+1＝3+i；

根据以上信息，完成下列问题：

(1)、填空：i³＝， i⁴＝；

(2)、计算：（2＋3i）×（3－4i）；

(3)、计算：i＋i²＋i³＋…＋i²⁰¹⁹ ．

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36. 观察以下等式：
第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1；

第2个等式：（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1

第3个等式：（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴﹣1：…

按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第4个等式：（x﹣1）（x⁴+x³+x²+x+1）＝；

(2)、写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xⁿ+xⁿ^﹣¹+…+x+1）＝；

(3)、请利用上述规律，确定2²⁰¹⁹+2²⁰¹⁸+…+2+1的个位数字是多少？

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37. 设 $\bar{a 5}$ 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， $\bar{a 5}$ 表示的两位数是45．

(1)、尝试：
①当a＝1时，15²＝225＝1×2×100＋25；

②当a＝2时，25²＝625＝2×3×100＋25；

③当a＝3时，35²＝1225＝；

……

(2)、归纳： ${\bar{a 5}}^{2}$ 与100a(a＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．

(3)、运用：若 ${\bar{a 5}}^{2}$ 与100a的差为2525，求a的值．

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38. 对于一个各数位上的数字均不为 0 的三位自然数 N，若 N 能被它的各数位上的数字之和 m 整除，则称 N 是 m 的“和倍数”．
例如：∵247÷(2+4+7)= 247÷13=19，∴247是13的“和倍数”.

又如： ∵214÷(2+1+4)=214÷7=30……4，∴214不是“和倍数”.

(1)、判断 357，441 是否是“和倍数”？说明理由；

(2)、三位数 A是12的“和倍数”，a，b，c 分别是数 A其中一个数位上的数字，且 a>b>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 $\frac{F (A) + G (A)}{16}$ 为整数，求出满足条件的所有数 A．

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39. 若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
例如： $M = 2543 ， ∵ 3^{2} + 4^{2} = 25 ， ∴ 2543$ 是“勾股和数”.

又如： $M = 4325 ， ∵ 5^{2} + 2^{2} = 29 ， 29 \neq 43 ， ∴ 4325$ 不是“勾股和数”

(1)、判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；

(2)、一个“勾股和数” $M$ 的千位数字为 $a$ ，百位数字为 $b$ ，十位数字为 $c$ ，个位数字为 $d$ ，记 $G (M) = \frac{c + d}{9} ， P$ $(M) = \frac{| 10 (a - c) + (b - d) |}{3}$ .当 $G (M) ， P (M)$ 均是整数时，求出所有满足条件的 $M$ .

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