备考2023年中考数学绍兴卷变式阶梯训练：21-24题

试卷更新日期：2023-04-05 类型：三轮冲刺

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一、第二十一题

1. 如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连结OD，AD．

(1)、若∠ACB=20°，求 $\overset{⌢}{A D}$ 的长（结果保留π）．

(2)、求证：AD平分∠BDO．

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2. 如图， $Δ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径， $A B = 6$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ .

(1)、求证： $∠ B A D = ∠ C B D$ ；

(2)、若 $∠ A E B = 125 °$ ，求 $\overset{⌢}{B D}$ 的长（结果保留 $π$ ）.

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3. 如图，已知PC平分∠MPN，点O是PC上任意一点，PM与⊙O相切于点E，交PC于A、B两点．

(1)、求证：PN与⊙O相切；

(2)、如果∠MPC=30°，PE=2 $\sqrt{3}$ ，求劣弧 $\overset{⌢}{B E}$ 的长．

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4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．

(1)、求证：BE＝CE；

(2)、若AB＝6，求弧DE的长；

(3)、当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

(1)、求证：BC是⊙O的切线．

(2)、若CF＝2，sinC＝ $\frac{3}{5}$ ，求AE的长．

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6. 如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $C O$ 的延长线于点 $F$ .

(1)、求证： $F D ∥ A B$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = \sqrt{5}$ ，求 $F D$ 的长.

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7. 如图，A为⊙O外一点，AO⊥BC，直径BC＝12，AO＝10， $\overset{⌢}{B D}$ 的长为π，点P是BC上一动点，∠DPM＝90°，点M在⊙O上，且∠DPM在DP的下方．

(1)、当sinA＝ $\frac{3}{5}$ 时，求证：AM是⊙O的切线；

(2)、求AM的最大长度．

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二、第二十二题

8. 如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α．

(1)、如图，当P与E重合时，求α的度数．

(2)、当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，将 $Δ A C E$ 沿着 $A E$ 折叠以后 $C$ 点正好落在 $A B$ 边上的点 $D$ 处．

(1)、当 $∠ B = 28 °$ 时，求 $∠ C A E$ 的度数；

(2)、当 $A C = 6$ ， $A B = 10$ 时，求线段 $D E$ 的长．

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的坐标分别为 $(0 ， 6)$ 、 $(- 8 ， 0)$ 、 $(- 3 ， 0)$ ， $A B = 10$ ，将 $Δ A B C$ 沿着射线 $A C$ 翻折，点 $B$ 落到 $y$ 轴上点 $D$ 处．

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、动点 $P$ 以每秒1个单位长度的速度从点 $B$ 出发沿着线段 $B O$ 向终点 $O$ 运动，运动时间为 $t$ 秒，请用含有 $t$ 的式子表示 $Δ P C A$ 的面积，并直接写出 $t$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，动点 $M$ 以每秒2个单位长度的速度从点 $A$ 出发沿着线段 $A O$ 向终点 $O$ 运动，动点 $N$ 以每秒 $a$ 个单位长度的速度从点 $O$ 出发沿着 $x$ 轴正方向运动，点 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 同时出发；点 $M$ 停止时，点 $P$ 、 $N$ 也停止运动，当 $Δ D O P ≌ Δ M O N$ 时，求 $a$ 的值．

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11. 已知D是等边三角形 $A B C$ 中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接 $E A$ 并延长交直线 $C D$ 于点F.

(1)、如图1，若 $∠ B C D = 40 °$ ，直接写出∠CFE的度数；

(2)、如图1，若 $C F = 10 ， A F = 4$ ，求AE的长；

(3)、如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明.

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12. 如图，在△ABC中，E是AB中点，F是AC上一动点，连结EF，将△AEF沿直线EF折叠得△DEF．

(1)、如图①，若∠B=45°，且点D恰好落在线段BC上，求证：点F为线段AC的中点；

(2)、如图②，若△ABC为等边三角形，且边长为4，当点D落在线段CE上时，求AF的长度；

(3)、如图③，若△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AC=8．连结AD、BD、CD，若△ACD与△BDC面积相等，且CD=4，求△ABC的面积．

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13.

(1)、如图，把 $△ A B C$ 沿 $D E$ 折叠，使点A落在点 $A_{1}$ 处，试探究 $∠ 1$ 、 $∠ 2$ 与 $∠ A$ 的关系；

(2)、如图2，若 $∠ 1 = 140 °$ ， $∠ 2 = 80 °$ ，作 $∠ A B C$ 的平分线 $B N$ ，与 $∠ A C B$ 的外角平分线 $C N$ 交于点 $N$ ，求 $∠ B N C$ 的度数；

(3)、如图3，若点 $A_{1}$ 落在 $△ A B C$ 内部，作 $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点 $A_{1}$ ，此时 $∠ 1$ ， $∠ 2$ ， $∠ B A_{1} C$ 满足怎样的数量关系？并给出证明过程.

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14. 如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C.过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A'DP.设点P的运动时间为x(s).

(1)、求点A'落在边BC上时x的值.

(2)、设△A'DP和△ABC重叠部分图形周长为y(cm)，求y与x之间的函数关系式.

(3)、如图②，另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C.过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B'EQ.连结A′B′.当直线A'B'与△ABC的边垂直或平行时，直接写出x的值.

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三、第二十三题

15. 已知函数y=-x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．

(1)、求b，c的值．

(2)、当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

(3)、当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

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16. 已知关于x的二次函数 $y = (m - 2) x^{2} - x - m^{2} + 6 m - 7$ （m是常数）．

(1)、若该二次函数的图象经过点 $A (- 1 ， 2)$ ，
①求m的值；②若该二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若该二次函数的图象与y轴交于点P，求点P纵坐标的最大值；

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17. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ .

(1)、求二次函数的解析式和图象的对称轴；

(2)、若该二次函数在 $m - 1 \leq x \leq m$ 内有最大值 $2 m$ ，求 $m$ 的值.

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18. 已知二次函数y=ax²+4ax+3a-1的图象开口向下．

(1)、若点(m，-9)和(1，-9)是该图象上不同的两点，求m的值．

(2)、当-4≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为6，求a的值．

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19. 已知：二次函数 $y = (2 m - 1) x^{2} - (5 m + 3) x + 3 m + 5$

(1)、m为何值时，此抛物线必与x轴相交于两个不同的点；

(2)、 m为何值时，这两个交点在原点的左右两边；

(3)、 m为何值时，此抛物线的对称轴是y轴；

(4)、 m为何值时，这个二次函数有最大值 $- \frac{5}{4}$ ．

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20. 已知抛物线 $y = a x^{2} - m x + 2 m - 3$ 经过点 $A (2 ， - 4)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、若抛物线与y轴的公共点为 $(0 ， - 1)$ ，抛物线与x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由；

(3)、当 $2 \leq x \leq 4$ 时，设二次函数 $y = a x^{2} - m x + 2 m - 3$ 的最大值为M，最小值为N，若 $\frac{M}{N} = \frac{7}{8}$ ，求m的值．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a (x + \frac{1}{2})^{2} + k$ 的图象经过点 $A (0 ， \frac{7}{4})$ ，点 $B (1 ， - \frac{1}{4})$ ，与直线 $x = m$ 交于点 $P$ ．

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、当 $0 \leq x \leq m$ 时，函数有最小值-3，求m的值；

(3)、过点 $P$ 作 $P Q ∥ x$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $- 2 m + 1$ ．已知点 $P$ 与点 $Q$ 不重合，且线段 $P Q$ 的长度随 $m$ 的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当 $P Q \leq 7$ 时，直接写出线段PQ与二次函数 $y = a (x + \frac{1}{2})^{2} + k (- 2 \leq x < \frac{1}{3})$ 的图象有一个交点时m的取值范围．

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四、第二十四题

22. 如图，在矩形 ABCD中，AB=6，BC=8，动点 E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A， D关于直线 BE的对称点分别为M，N，连结MN ．

(1)、如图，当E在边AD上且 DE=2时，求 ∠AEM的度数．

(2)、当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．

(3)、当直线MN恰好经过点 C 时，求DE的长．

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23. 已知，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $B C = b$ ，动点M从点A出发沿边 $A D$ 向点D运动．

(1)、如图1，当 $b = 2 a$ ，点M运动到边 $A D$ 的中点时，请证明 $∠ B M C = 90 °$ ；

(2)、如图2，当 $b > 2 a$ 时，点M在运动的过程中，是否存在 $∠ B M C = 90 °$ ，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（点P不与A、D重合），PE⊥BP，PE交DC于点E．

(1)、求证：△ABP∽△DPE；

(2)、设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)、请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = k x$ 过点 $A (6 ， m)$ ，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C. $∠ A O B = 60 °$ ， $C D ⊥ O A$ 于点D.动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发.以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度向点B运动.点P，Q同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为 $t (s)$ ，且 $t > 0$ .

(1)、求m与k的值；

(2)、当点P运动到点D时，求t的值；

(3)、连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当 $P E ⊥ D Q$ 时，请直接写出点P的坐标.

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26. 如图，四边形ABCD中，AD//BC， $∠ A D C = 90^{°}$ ， $A D = 8$ ， $B C = C D = 6$ ，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作 $N P ⊥ A D$ 于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ，设运动时间为t秒（ $0 < t < 4$ ）

(1)、连接AN，CP，当t为何值时，四边形ANCP为平行四边形；

(2)、设四边形DMQC的面积为y，求y与t的函数关系式；

(3)、在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形DMQC的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)、将△AQM沿AD翻折，得到△AKM．在运动过程中，是否存在某时刻t，使四边形AQMK为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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27. 如图，平行四边形ABCD中，DB＝ $2 \sqrt{3}$ ， AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．

(1)、如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为 $\frac{2}{3}$ 秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；

(2)、如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为 $\sqrt{3}$ 个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？

(3)、如图3，H在线段AB上且AH＝ $\frac{1}{3}$ HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．

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28. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿线段 $A D$ 以每秒1个单位长度的速度向终点 $D$ 运动，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ 于点 $Q$ ，作 $P M ⊥ A D$ 交直线 $A B$ 于点 $M$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ ，设 $△ P Q M$ 与菱形 $A B C D$ 重叠部分图形的面积为 $S$ （平方单位），点 $P$ 运动时间为 $t$ （秒）.

(1)、当点 $M$ 与点 $B$ 重合时，求 $t$ 的值；

(2)、当 $t$ 为何值时， $△ A P Q$ 与 $△ B M F$ 全等；

(3)、求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

(4)、以线段 $P Q$ 为边，在 $P Q$ 右侧作等边三角形 $P Q E$ ，当 $2 \leq t \leq 4$ 时，求点 $E$ 运动路径的长.

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