2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十章分式（进阶版）

试卷更新日期：2023-04-05 类型：单元试卷

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一、单选题（每题2分，共16分）

1. 若 $x$ 是整数，则使分式 $\frac{8 x + 2}{2 x - 1}$ 的值为整数的 $x$ 值有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 已知 $\frac{x}{y} = \frac{3}{4} (x > 0 ， y > 0)$ ，则下列错误的是（）

A、 $\frac{y}{x} = \frac{4}{3}$ B、 $\frac{x + y}{y} = \frac{7}{4}$ C、 $\frac{x + 3}{y + 4} = \frac{3}{4}$ D、 $\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{4}{5}$

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3. 下列选项中正确的是（）

A、分式 $\frac{y}{5 x^{2}}$ 和 $\frac{y}{2 x^{5}}$ 的最简公分母是 $10 x^{7}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a c}{b c}$ C、 $\frac{a k}{b k} = \frac{a}{b}$ D、分式 $\frac{a^{2}}{a + b}$ 中的a，b同时扩大2倍，分式值不变

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4. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正数，且满足 $a + b + c = 1$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = 5$ ，那么 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{2 m}{2 - x} = 3$ 的解为正实数，则实数 $m$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $m < - 6$ 且 $m \neq 2$ B、 $m > 6$ 且 $m \neq 2$ C、 $m < 6$ 且 $m \neq - 2$ D、 $m < 6$ 且 $m \neq 2$

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6. 如果关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} n x - 9 > 2 x - 2 \\ \frac{9}{2} x ⩽ \frac{34 + 5 x}{3} \end{array}$ 无解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{n y - 2}{y - 5} + \frac{3}{5 - y} = - 1$ 有正数解，则符合条件的所有整数 $n$ 的和是 $($ $)$

A、7 B、6 C、5 D、4

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7. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（）

A、 $\frac{3}{x} + 2 (\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}) = 1$ B、 $\frac{3}{x} + \frac{2}{x} + \frac{2}{x - 2} = 1$ C、 $\frac{3 + 2}{x} + \frac{2}{x - 2} = 1$ D、 $\frac{3}{x} + \frac{2}{x - 2} = 1$

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8. 有甲，乙两块边长为a米（a>8）的正方形试验田．负责试验田的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了200千克小麦，乙试验田收获了150千克小麦，对于这两块试验田的单位面积产量，下列说法正确的是（）

A、甲试验田的单位面积产量高 B、乙试验田的单位面积产量高 C、两块试验田的单位面积产量一样 D、无法判断哪块试验田的单位面积产量高

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二、填空题（每空2分，共18分）

9. 已知分式 $\frac{5 x + n}{x + m}$ （m、n为常数）满足表格中的信息：

$x$ 的取值

-2

0.4

$q$

分式的值

无意义

0

3

则 $q$ 的值是．

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10. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} \neq 0$ ，且 $2 a - 3 b + c \neq 0$ ，则 $\frac{a + b - c}{2 a - 3 b + c}$ 的值为.

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11. 已知三个数x，y，z满足 $\frac{x y}{x + y} = \frac{1}{3}$ ， $\frac{y z}{y + z} = \frac{1}{4}$ ， $\frac{z x}{z + x} = \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{x y z}{x y + y z + z x}$ 的值为.

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12. 已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 $\frac{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}{x y} + \frac{(y^{2} - 1) (z^{2} - 1)}{y z} + \frac{(z^{2} - 1) (x^{2} - 1)}{z x}$ =4.求 $\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}$ 的值为.

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13. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x}{2} - 1 \geq \frac{x + 4}{2} \\ a - x > 7 \end{array}$ 无解，且关于y的分式方程 $\frac{3 y}{2 - y} = 1 - \frac{a + y}{y - 2}$ 的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为．

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14. 甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（ $a \neq b$ ）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.
其中正确的结论是．（只需填入序号）

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15. 某中学假期后勤中的一项工作是请 $30$ 名木工制作200把椅子和100张课桌，已知一名工人在单位时间内可以制作10把椅子或7张课桌，将这30名工人分成两组，一组制作课桌，一组制作椅子，两组同时开工．应分配人制作课桌，才能使完成此项工作的时间最短．

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16. 用换元法解关于x的分式方程 $\frac{x - 1}{x} + \frac{2 a x}{x - 1} - 2 a - 1 = 0$ 时，如果设 $\frac{x - 1}{x} = y$ 将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是，若原方程的解为正数，则a的取值范围为．

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三、计算题（共2题，共21分）

17. 计算：

(1)、 $\frac{3 x}{(x - 1)^{2}} - \frac{3}{(x - 1)^{2}}$

(2)、 $2 a b \div \frac{a b}{a - b} \cdot \frac{1}{2 (b - a)^{2}}$

(3)、 $(\frac{2 x}{y})^{2} \cdot \frac{1}{x - y} - \frac{x}{y} \div \frac{y}{4}$

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18. 解下列分式方程：

(1)、 $\frac{3 - x}{4 + x} = \frac{1}{2}$

(2)、 $\frac{2 x - 5}{x - 2} = \frac{3 x - 7}{x - 2} - 3$

(3)、 $\frac{x^{2}}{x^{2} - 4} - \frac{x}{2 - x} = 2$

(4)、 $\frac{3}{x + 3} + \frac{2 x}{x^{2} - 9} = \frac{1}{x - 3}$

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四、解答题（共10题，共65分）

19. 先化简，再求值： $\frac{2}{a - 3} + \frac{a}{a^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 4 a}{a + 3}$ ，其中a，2，4为 $△ A B C$ 的三边长，且a为整数．

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20. 已知 $a + b + c = 0$ ，且 $a b c \neq 0$ ，求： $a (\frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + b (\frac{1}{a} + \frac{1}{c}) + c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ 的值.

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21. 已知a、b、c均为非零的实数，且满足 $\frac{a + b - c}{c}$ = $\frac{a - b + c}{b}$ = $\frac{- a + b + c}{a}$ ，求 $\frac{(a + b) (b + c) (c + a)}{a b c}$ 的值．

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22. 化简运用：小丽在求解一个有解的分式方程 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} \div \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1 - x}{1 + x}$ ＝▓时，将等号右边的值写错，又找不到原题目了，但肯定的是“▓”为三个“有理数的特殊数”﹣1，0，1中的一个，请你帮她确认这个数.并求出原分式方程的解（提示：先化简分式再求解方程可不写出确认“▓”的过程，但要写出解方程的过程）.

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23. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

(1)、下列分式： $① \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ； $② \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ； $③ \frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ； $④ \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}} .$ 其中是“和谐分式”是 $($ 填写序号即可 $)$ ；

(2)、若a为正整数，且 $\frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{({ab}^{2} - b^{3}) b^{2}}$

小强： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{(a - b) b^{2}}$

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简．

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24. 阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.

例如：已知 $x y = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 + y}$ 的值.

解：原式 $= \frac{x y}{x y + x} + \frac{1}{1 + y} = \frac{y}{y + 1} + \frac{1}{1 + y} = \frac{y + 1}{y + 1} = 1$ .

问题解决：

(1)、已知 $x y = 1$ .
①代数式 $\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}}$ 的值为 ▲ ；

②求证： $\frac{1}{1 + x^{2021}} + \frac{1}{1 + y^{2021}} = 1$ .

(2)、若x满足 ${(2021 - x)}^{2} + {(2020 - x)}^{2} = 4043$ ，求 $(2021 - x) (2020 - x)$ 的值.

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25. 八年级甲、乙两个班级全体同学踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲班共捐款882元，乙班共捐款1092元.下面是甲、乙两班同学的一段对话：

(1)、甲、乙班各有多少人？

(2)、现甲、乙两班共同使用这笔捐款用于购买

A

、

B

两种不同型号的口罩（两种口罩都有购买），购买信息如下表：

名称	单价（整数元）	数量（整包购买）	金额（元）
$A$	$m$	▅（包）	▅
$B$	$m + 18$	▅（包）	▅
总计		5（包）	两个班全部捐款额

求符合条件的整数 $m$ 的值.

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26. 某店3月份采购A，B两种品牌的T恤衫，若购A款40件，B款60件需进价8400元；若购A款45件，B款50件需进价8050元.

(1)、商店3月份的进货金额只有10000元，能否同时购进A款和B款T恤衫各60件？

(2)、根据3月份的销售情况，商店决定4月份和5月份均只销售A款T恤衫，4月份每件的进价比3月份涨了a元，进价合计9800元；5月份每件的进价比4月份又涨了0.5a元，进价合计12240元，数量是4月份的1.2倍.这两批A款T恤衫开始都以每件150元的价格出售，到6月初，商店把剩下的30件打八折出售，很快便售完，问商店销售这两批A款T恤衫共获毛利润（销售收入减去进价总计）多少元？

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27. 甲、乙两商场自行定价销售某一商品．

(1)、甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为元；

(2)、乙商场定价有两种方案：方案一将该商品提价20%；方案二将该商品提价1元．某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案二购买的件数是按方案一购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？

(3)、甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；乙商场：两次提价的百分率都是 $\frac{a + b}{2}$ （a＞0，b＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．

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28. 阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水.早在古代，人们就已经发现了这种水的存在.盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度= $\frac{含盐质量}{盐水质量}$ ×100%.

(1)、公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为；

(2)、拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；

(3)、解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程).

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$x$ 的取值	-2	0.4	$q$
分式的值	无意义	0	3

2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷第十章 分式（进阶版）

一、单选题（每题2分，共16分）

二、填空题（每空2分，共18分）

三、计算题（共2题，共21分）

四、解答题（共10题，共65分）

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