2023年苏科版数学八年级下册全方位训练卷10.5 分式方程

试卷更新日期：2023-04-05 类型：同步测试

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一、单选题（每题3分，共24分）

1. 下面是分式方程的是（）.

A、 $\frac{1}{2 x - 3} + \frac{4}{x + 9}$ B、 $\frac{2 x + 1}{7} = \frac{5 x - 6}{3}$ C、 $\frac{1}{2} x + 5 = \frac{2}{3} (x - 6)$ D、 $\frac{3}{x - 1} + \frac{2}{2 x + 1} = 1$

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2. 若分式方程 $\frac{x + a}{x - 1} = a$ 无解，则a的值为（）

A、1或 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、1或 $- 2$

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3. 若关于x的分式方程 $\frac{2 x + m}{x - 1} = 3$ 的解是正数，则m的取值范围是（）

A、 $m > - 3$ B、 $m \neq 1$ C、 $m > - 3$ 且 $m \neq - 2$ D、 $m > - 3$ 且 $m \neq 1$

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4. 若整数a使关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{2 y - 5}{3} \leq y - \frac{1}{3} \\ a - y + 3 \geq 0 \end{array}$ 至少有3个整数解，且使得关于x的分式方程 $\frac{3}{x (x - 1)} - \frac{a}{1 - x} = \frac{2}{x}$ 的解为正数，则所有符合条件的整数a的和为（）

A、-6 B、-9 C、-11 D、-14

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5. 解方程 $\frac{x^{2} - 3 x}{x - 2} + \frac{x^{2} - 3}{2 - x} = 5$ ，以下去分母正确的是（）

A、 $x^{2} - 3 x - x^{2} - 3 = 5$ B、 $x^{2} - 3 x - x^{2} + 3 = 5$ C、 $x^{2} - 3 x - x^{2} - 3 = 5 (x - 2)$ D、 $x^{2} - 3 x - x^{2} + 3 = 5 (x - 2)$

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6. 用换元法解分式方程 $\frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{x} + 1 = 0$ 时，如果设 $\frac{x}{x^{2} + 1} = y$ ，那么原方程可以变形为整式方程（）

A、 $y^{2} - 3 y - 1 = 0$ B、 $y^{2} + 3 y - 1 = 0$ C、 $y^{2} - y - 1 = 0$ D、 $y^{2} + y - 1 = 0$

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7. 已知关于x的方程 $\frac{3}{x - 1} - \frac{x + a}{x (x - 1)} = 0$ 的增根是1，则字母a的取值为(　 )

A、2 B、－2 C、1 D、－1

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8. 某工程队在改造一条长1600米的人行步道，为尽量减少施工对交通的影响，施工时_____，若实际施工每天改造x米，可列方程 $\frac{1600}{x - 18} = \frac{1600}{x} + 15$ ，则横线上的信息可以是（）

A、每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成 B、每天比原计划多铺设18米，结果延期15天完成 C、每天比原计划少铺设18米，结果延期15天完成 D、每天比原计划少铺设18米，结果提前15天完成

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二、填空题（每题3分，共24分）

9. 若关于x的分式方程 $\frac{2}{x + m} = \frac{3}{x + 3}$ 有负数解，则m的取值范围为．

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10. 当 $x =$ 时.代数式 $\frac{x - 5}{x - 8}$ 和 $\frac{4 - 2 x}{8 - x}$ 的值互为相反数

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11. 用换元法解分式方程 $\frac{x - 1}{x} - \frac{2 x}{x - 1} - 1 = 0$ 时，如果设 $\frac{x - 1}{x} = y$ ，将原方程化为关于 $y$ 的整式方程，那么这个整式方程是．

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12. 解关于x的方程 $\frac{x - 3}{x - 1} = \frac{m}{x - 1}$ 产生增根，则常数m的值等于．

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13. 某公司承担了制作500个上海世博会道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了12个，因此提前5天完成任务．那么根据题意，可以列出的方程是：．

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14. 通过对《分式与分式方程》一章的学习，我们知道用分式方程解决实际问题的一般步骤：
请根据所给分式方程 $\frac{1400}{x} - \frac{1400}{2.8 x} = 9$ ，联系生活实际，编写一个能通过列出此分式方程进行解决的实际问题：．（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）

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15. 枣庄市质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂产品的合格率比乙厂高5%，则甲厂产品的合格率为．

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16. 要使关于x的方程 $\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 1} = \frac{a}{x^{2} + x - 2}$ 的解是正数，则a的值为.

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三、计算题（共2题，共12分）

17. 解分式方程：

(1)、 $\frac{1}{x - 3} + 2 = \frac{4 - x}{3 - x}$

(2)、 $\frac{3}{x - 1} - \frac{x + 2}{x (x - 1)} = 0$

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18. 解分式方程：

(1)、 $\frac{3}{x^{2} - 3 x} - \frac{1}{x - 3} = \frac{2}{x}$ ；

(2)、 $\frac{1}{2 x - 1} + \frac{3}{4 x - 2} = \frac{1}{2}$ ．

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四、解答题（共8题，共60分）

19. 已知关于x的方程 $\frac{2 x}{x - 2} + \frac{m}{x - 2} = - 2$

(1)、当 $m = 5$ 时，求方程的解；

(2)、当m取何值时，此方程无解；

(3)、当此方程的解是正数时，求m的取值范围．

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20. 若整数a使得关于x的分式方程 $\frac{16}{x (x - 4)} + \frac{2}{x} = \frac{a}{x - 4}$ 有正整数解，且使关于y的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} (y + 4) - \frac{2 y - 1}{3} > \frac{1}{2} \\ \frac{1 - y}{2} \leq 3 - a \end{array}$ 至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和.

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21. 王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： $\frac{x}{x - 3} = 2 - \frac{?}{x - 3}$

(1)、她把这个数“ $?$ ”猜成 $- 2$ ，请你帮王涵解这个分式方程；

(2)、王涵的妈妈说：“我看到标准答案是： $x = 3$ 是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

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22. 阅读下面材料，解答问题.
解方程： $\frac{x - 1}{x} - \frac{4 x}{x - 1} = 0$ .

解：设 $y = \frac{x - 1}{x}$ ，则原方程化为 $y - \frac{4}{y} = 0$ .

方程两边同时乘 $y$ ，得 $y^{2} - 4 = 0$ ，

解得 $y = \pm 2$ .

经检验 $y = \pm 2$ 都是方程 $y - \frac{4}{y} = 0$ 的根.

∴当 $y = 2$ 时， $\frac{x - 1}{x} = 2$ ，觕得 $x = - 1$ ；

当 $y = - 2$ 时， $\frac{x - 1}{x} = - 2$ ，解得 $x = \frac{1}{3}$ .

经检噞 $x = - 1$ 或 $x = \frac{1}{3}$ 都是原分式方程的偨，

∴原分式堭的根为 $x = - 1$ 或 $x = \frac{1}{3}$ .

上述这种解分式方程的方法称为换元法.问题：

(1)、若在方程 $\frac{x - 1}{4 x} - \frac{x}{x - 1} = 0$ 中，设 $y = \frac{x - 1}{x}$ ，则原为程可化为.

(2)、若在方程 $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{4 x + 4}{x - 1} = 0$ 中，设 $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ ，则原方䅜可化为.

(3)、利用上述换元法解方程 $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{3}{x - 1} - 1 = 0$ .

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23. 新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同.求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？

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24. 某公司生产A、B两种机械设备，每台B种设备的成本是A种设备的1.5倍，公司投入16万元生产A种设备，36万元生产B种设备，共生产设备10台，请解答下列问题：

(1)、A、B两种设备每台的成本分别是多少万元？

(2)、A、B两种设备每台的售价分别是6万元、10万元，现公司决定对这10台两种设备优惠出售，A种设备按原来售价8折出售，B种设备在原来售价的基础上优惠10%，若设备全部售出，该公司一共获利多少万元？

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25. 某礼品店从文化用品市场批发甲、乙、丙三种礼品(每种礼品都有)，各礼品的数量和批发单价列表如下：

甲
乙
丙
数量(个)
m
$3 m$
$n$
批发单价(元)
$a (1 \leq m \leq 10)$
$b$
$10$
$0.8 a (m > 10)$

(1)、当 $m = 5$ 时，若这三种礼品共批发 $35$ 个，甲礼品的总价不低于丙礼品的总价，求a的最小值．

(2)、已知该店用 $1320$ 元批发了这三种礼品，且 $a = 5 b$ ．
$①$ 当 $m = 25$ 时，若批发这三种礼品的平均单价为 $11$ 元/个，求b的值．
$②$ 当 $7 < m < 20$ 时，若该店批发了 $20$ 个丙礼品，且a为正整数，求a的值．

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26. 某班组织登山活动，同学们分甲乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发．设甲乙两组行进同一段路所用的时间之比为2：3．

(1)、直接写出甲乙两组行进的速度之比．

(2)、当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离出顶的路程尚有1.2千米．试问山脚离山顶的路程有多远．

(3)、在题（2）的基础上，设乙组从A处继续登山，甲组再从原路下山，下山速度与上山速度相同，并且在山腰B处与乙组相遇．请你先根据以上情景提出一个相应的问题，再给予解答．（要求：①问题的提出不得再增添其他条件；②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件．）

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	甲	乙	丙
数量(个)	m	$3 m$	$n$
批发单价(元)	$a (1 \leq m \leq 10)$	$b$	$10$
批发单价(元)	$0.8 a (m > 10)$	$b$	$10$